Otras carreras Voltaje eficaz qe atraviesa la mano de una persona

[danielandresbru]

Hola, estaba intentando resolver este probema, pero es que no termino de entender bien el circuito, quisiera saber como plantearlo. El problema dice:


Determinar el valor del voltaje eficaz que atraviesa la mano de una persona que se acerca al secundario de un transformación como se ve en la imagen que adjunté. La resistencia del cuerpo al paso de la corriente de la persona es de 50 k[FONT=arial]Ω[/FONT]. El voltaje en el primario del transformador es de 220 v a una frecuencia de 50 Hz, y a Capacidad parásita entre el secundario del transfromador y la mano es de 20 pF (No entiendo bien esto de Capacidad parásita).
Muchas gracias de antemano

[Alriga]

Re: Voltaje eficaz qe atraviesa la mano de una persona

Cuando tú acercas la mano a un lugar en el que hay una tensión muy alta AT, (como esos 5000 V), la corriente empieza a pasar por tí, (te da calambre), antes de llegar a tocarlo. El mejor elemento pasivo eléctrico que simula eso es un condensador entre el punto de AT y tu mano. A la capacidad de ese condensador le llama capacidad parásita.

El circuito que debes resolver es un circuito RC serie, con una fuente de tensión de alterna de 5000 V
De los datos del primario del transformador, la tensión de 220 V es irrelevante, solo te sirve el valor de la frecuencia, 50 Hz

$V=5.000 \ V$

$R_b=50.000 \ \Omega=50 \ k \Omega$

$C=20 \cdot 10^{-12} \ F$

$\omega=2 \cdot \pi \cdot 50 \ rad/s$

$X_c=\dfrac{1}{\omega C}=159.154,943 \ k \Omega$

$Z=\sqrt{R_b^2+X_c^2}=159.154,951 \ k \Omega$

$I=\dfrac V Z=0,031 \ mA$ Es una corriente muy pequeña, la persona ni la notará, (normalmente se suele empezar a notar cosquilleo a partir de unos 0,5 mA)

$V_b=I \cdot R_b=1,57 \ V$ es la diferencia de potencial a la que está sometido el cuerpo de la persona. Como se observa el valor es muy pequeño, prácticamente casi toda la tensión cae en el condensador. Esta es la solución pedida.

Observación Adicional aparte del enunciado del problema: Si la persona continua acercando la mano, el valor de la Capacidad parásita disminuirá y por lo tanto la corriente que atraviesa el cuerpo y la diferencia de potencial a la que se halla sometido aumentará.
Cuando la mano llegue a tocar el terminal de 5.000 V, ya no habrá capacidad parásita y lo único que limitará la corriente es la Resistencia del cuerpo que entonces estará sometida a los 5.000 V completos. La corriente que atravesará el cuerpo entonces será:

$I=\dfrac{V}{R_b}=\dfrac{5000 \ V}{50 \ k \Omega}=100 \ mA$ Esta corriente es suficiente para poder matarte.

Saludos.

[danielandresbru]

Re: Voltaje eficaz qe atraviesa la mano de una persona

Hola Alriga, pero si entonces al ser la corriente alterna y tener que $V=V_0 \sin(\omega t)$ siendo $V_0=5000 \ V$, al hacerlo diciendo que $I=\frac V Z$, tengo que $I(t)=\displaystyle \frac {\omega CV_0}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}}\sin(\omega t)$, ( aunque si tengo en cuenta que al ser un circuito RC en alterna se cumple que: $V_0 \sin(\omega t)=\displaystyle \frac{Q(t)}C + Q'(t)R$, resolviendo esta ecuación diferencial tengo que: $Q(t)=\frac{V_0C}{(\omega RC)^2+1}\sin(\omega t)-\frac{V_0 \omega RC^2}{(\omega RC)^2+1}\cos(\omega t) +\Big(\frac{V_0 \omega RC^2}{(\omega RC)^2+1}+Q(0)\Big)e^{-\frac t{RC}}$ , y por tanto llego a que $I(t)=\frac{V_0\omega C}{(\omega RC)^2+1}\cos(\omega t)+\frac{V_0 \omega^2 RC^2}{(\omega RC)^2+1}\sin(\omega t) -\frac 1{RC}\Big(\frac{V_0 \omega RC^2}{(\omega RC)^2+1}+Q(0)\Big)e^{-\frac t{RC}}$ que no se parece a lo otra expresion de $I(t)$ ), pero tomado $I(t)=\displaystyle \frac {\omega CV_0}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}}\sin(\omega t)$ y si integro tengo que la carga en funcion del tiempo es $Q(t)=-\displaystyle \frac { CV_0}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}}\cos(\omega t)$, por lo que la tensión en el capacitador (la que siente la persona) es $V_C(t)=-\displaystyle \frac { V_0}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}}\cos(\omega t)$, de allí tengo que el potencial máximo que siente la persona es $V_{max,pers}=\displaystyle \frac { V_0}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}}$, y el voltaje eficaz que sentiría sería $V_{ef,pers}=\displaystyle \frac { V_0}{\sqrt{2(\omega RC)^2 +2}}$, pero al sustituir por los valores numéricos no me sale el resultado

[Alriga]

Re: Voltaje eficaz qe atraviesa la mano de una persona

Yo entiendo que lo que te pide el enunciado es un cálculo de régimen permanente, por lo que puedes olvidarte del régimen transitorio y de ecuaciones diferenciales.
Si te pidiesen el régimen transitorio te faltan datos, pues no te dicen en que instante de la senoide de $v(t)=5000 \cdot \sqrt 2 \cdot \cos(\omega t)$ la mano se coloca en el punto en que es válido el circuito. Y el régimen transitorio no es el mismo si empiezas con la senoide cerca del máximo o cerca de cero. Pero cuando el régimen transitorio se haya estabilizado en el régimen permanente, la solución del circuito es la que yo te he dado en mi post anterior y es independiente de como haya empezado.

La evolución de la corriente y de las tensiones en el circuito será más o menos así, (curva en azul)



El cálculo que yo he hecho corresponde a la parte de la derecha, en que la parte transitoria ya se ha extinguido y las magnitudes del circuito permanecen como senoides de amplitud constante y frecuencia constante de forma permanente, (que es lo que creo que te pide el enunciado)
Saludos.

[danielandresbru]

Re: Voltaje eficaz qe atraviesa la mano de una persona

Gracias, pero entonces en qué parte está mi error?

[Alriga]

Re: Voltaje eficaz qe atraviesa la mano de una persona

Gracias, pero entonces en qué parte está mi error?

De entrada, si te dicen que una tensión alterna es de 5000 V, ese valor es siempre eficaz, por lo que la senoide será $v(t)=5000 \cdot \sqrt 2 \cdot \cos(\omega t)$ y no $v(t)=5000 \cdot \cos(\omega t)$
Y en general todo el planteo no es el adecuado al problema, utilizas la variable tiempo, la carga eléctrica, derivadas, integrales, cuando no son necesarios,...

Es mucho más simple, creo que sacarás el máximo provecho si intentas entender el desarrollo y las explicaciones que yo te he hecho en mi primer post y me preguntas tus dudas sobre ellas.
(La resolución de un circuito de corriente alterna en régimen permanente es similar a como se resuelve en continua, pero ahora en vez de Resistencias se tienen Impedancias)

Saludos.

[Julián]

Re: Voltaje eficaz qe atraviesa la mano de una persona

Desde mi punto de vista el transistorio es fundamental en el análisis, no solo porque forma parte de la respuesta del sistema donde el transistorio es la inercia que impone el sistema en alcanzar la condición permanente que en este caso da una respuesta que se establece a un nivel permanente constante pero en otras condiciones es posible que se de un sistema inestable, si el sistema fuera realimentado donde la respuesta crecerría indefinidamente.

A su vez al analizar el transistorio, el pico de tensión es fundamental ya que si se analiza las condiciones de aislación para el régimen permanente es posible que dicha aislación no sea suficente en el pico del transistorio. En este caso si hacerca la mano, el arco eléctrico lo establece el pico en el transistorio.

La solución de la corriente que circularía por la mano es: $\dst -\frac{((1000 {e}^{(-1000000 t)} \pi)}{(100000000 + {\pi}^{2}))} + \frac{100 \pi Cos (2 \pi 50 t)}{100000000 + {\pi}^{2}} + \frac{{\pi}^{2} sen (2 \pi 50 t)}{10(100000000+ {\pi}^{2})}$

De esta manera la corriente sube con una exponencial $-\frac{((1000 {e}^{(-1000000 t)} \pi)}{(100000000 + {\pi}^{2}))}+ \frac{100 \pi Cos (2 \pi 50 t)}{100000000 + {\pi}^{2}}$ hasta aproximadamente el microsegundo y se mantiene 31 microamperio hasta los aproximadamente el milisegundo y ahí empieza a bajar hasta llegar a una expresión senoidal de la forma $\frac{{\pi}^{2} sen (2 \pi 50 t)}{10(100000000+ {\pi}^{2})}$





Asi que ese momento en que la corriente se mantiene casi constante, desde que pega el salto desde cero y se establece en 31 microamperios desde el microsegundo hasta aproximadamente el milisegundo es diferente a a cuando comienza el régimen permanente. Luego, en el régimen permante donde es una senoidal la corriente eficaz es menor considerando corriente eficaz como la potencia que disiparía una corriente constante de ese valor en ese valor resistivo. La tensión simplemente es la corriente por la resistencia y lo que se disipa en ese tiempito (desde 1 microsegundo hasta el milisegundo) es 0.00004805W, y en régimen senoidal disipa 2.4 picoWatts. Por lo tanto el valor eficaz, sube a un máximo, se mantiene durante un intervalor y luego cae a su valor permanente.

Luego se debe considerar que una mano no tiene una resistencia lineal y que la capacitancia entre el conductor y la mano tampoco es constante ni lineal, y si ese pico de tensión en el transistorio es suficiente para el arco eléctrico, deja de haber capacitancia por lo que es mucho más complejo y la corriente es mayor. En si, en ese caso el análisis se debe hacer como una sucesión de transistorios, desde que se establece la corriente, hasta que llega al pico, salta el arco eléctrico, deja de haber capacitancia, etc. En electrónica de potencia el régimen permanentees una sucesión de transistorios.

Por cierto, dicho efecto se aprecia cuando se conecta algo al tomacorriente (cuando el interruptor o switch está en ON)y se alcanza a ver unas chispas, esto es debido a ese transistorio, ya que el capacitor esta descargado. Hagan la prueba, desconecten el televisor, teniendolo en On, esperen que se descarge el capacitor para no tener condición inicial y enchufenlo. Por cierto, no hagan eso seguido, ya que ese pico de corriente desgasta los capacitores así que siempre que enchufen o desenchufen asegurensen de que el televisor este en Off.

[Alriga]

Re: Voltaje eficaz qe atraviesa la mano de una persona

Desde mi punto de vista el transistorio es fundamental en el análisis, no solo porque forma parte de la respuesta del sistema donde el transistorio es la inercia que impone el sistema en alcanzar la condición permanente que en este caso da una respuesta que se establece a un nivel permanente constante pero en otras condiciones es posible que se de un sistema inestable, si el sistema fuera realimentado donde la respuesta crecerría indefinidamente.

A su vez al analizar el transistorio, el pico de tensión es fundamental ya que si se analiza las condiciones de aislación para el régimen permanente es posible que dicha aislación no sea suficente en el pico del transistorio. En este caso si hacerca la mano, el arco eléctrico lo establece el pico en el transistorio.

La solución de la corriente que circularía por la mano es: $\dst -\frac{((1000 {e}^{(-1000000 t)} \pi)}{(100000000 + {\pi}^{2}))} + \frac{100 \pi Cos (2 \pi 50 t)}{100000000 + {\pi}^{2}} + \frac{{\pi}^{2} sen (2 \pi 50 t)}{10(100000000+ {\pi}^{2})}$

De esta manera la corriente sube con una exponencial $-\frac{((1000 {e}^{(-1000000 t)} \pi)}{(100000000 + {\pi}^{2}))}+ \frac{100 \pi Cos (2 \pi 50 t)}{100000000 + {\pi}^{2}}$ hasta aproximadamente el microsegundo y se mantiene 31 microamperio hasta los aproximadamente el milisegundo y ahí empieza a bajar hasta llegar a una expresión senoidal de la forma $\frac{{\pi}^{2} sen (2 \pi 50 t)}{10(100000000+ {\pi}^{2})}$

[ATTACH=CONFIG]11266[/ATTACH]

[ATTACH=CONFIG]11267[/ATTACH]

Asi que ese momento en que la corriente se mantiene casi constante, desde que pega el salto desde cero y se establece en 31 microamperios desde el microsegundo hasta aproximadamente el milisegundo es diferente a a cuando comienza el régimen permanente. Luego, en el régimen permante donde es una senoidal la corriente eficaz es menor considerando corriente eficaz como la potencia que disiparía una corriente constante de ese valor en ese valor resistivo. La tensión simplemente es la corriente por la resistencia y lo que se disipa en ese tiempito (desde 1 microsegundo hasta el milisegundo) es 0.00004805W, y en régimen senoidal disipa 2.4 picoWatts. Por lo tanto el valor eficaz, sube a un máximo, se mantiene durante un intervalor y luego cae a su valor permanente.

Luego se debe considerar que una mano no tiene una resistencia lineal y que la capacitancia entre el conductor y la mano tampoco es constante ni lineal, y si ese pico de tensión en el transistorio es suficiente para el arco eléctrico, deja de haber capacitancia por lo que es mucho más complejo y la corriente es mayor. En si, en ese caso el análisis se debe hacer como una sucesión de transistorios, desde que se establece la corriente, hasta que llega al pico, salta el arco eléctrico, deja de haber capacitancia, etc. En electrónica de potencia el régimen permanentees una sucesión de transistorios.

Por cierto, dicho efecto se aprecia cuando se conecta algo al tomacorriente (cuando el interruptor o switch está en ON)y se alcanza a ver unas chispas, esto es debido a ese transistorio, ya que el capacitor esta descargado. Hagan la prueba, desconecten el televisor, teniendolo en On, esperen que se descarge el capacitor para no tener condición inicial y enchufenlo. Por cierto, no hagan eso seguido, ya que ese pico de corriente desgasta los capacitores así que siempre que enchufen o desenchufen asegurensen de que el televisor este en Off.

Hola Julián esta mañana que tenía tiempo he leído tu largo y denso post y me gustaría hacer algún comentario: estoy completamente seguro de que estarás de acuerdo conmigo en que si en un examen de secundaria sale el problema:

“Determinar el valor del voltaje eficaz que atraviesa la mano de una persona que se acerca al secundario de un transformación como se ve en la imagen. La resistencia del cuerpo al paso de la corriente de la persona es de 50 kΩ. El voltaje en el primario del transformador es de 220 v a una frecuencia de 50 Hz, y la Capacidad parásita entre el secundario del transformador y la mano es de 20 pF"

La solución que debe dar el alumno si quiere aprobar es 1,57 V. Y que la manera normal y aconsejable de llegar a ese resultado a nivel de secundaria es el cálculo que yo he realizado.

Dicho esto, independientemente del interés que pueda tener tu post, quisiera amablemente advertir que tiene un error (que en tu caso sé que es simplemente de despiste), pero que quiero señalar porque suele ser muy común entre los principiantes en el estudio de la Electrotecnia: No recordar que siempre que se da un valor de tensión o de corriente en un sistema de potencia de 50 ó 60 Hz, si no se dice lo contrario, esos valores son siempre eficaces, no de pico. Por lo tanto si el enunciado dice que la tensión en el secundario del transformador es de 5.000 V y deseamos escribir la función senoidal que describe esa tensión no podemos escribir $v(t)=5.000 \cdot \cos(\omega t +\phi)$

Sino que la expresión correcta es $v(t)=5.000 \cdot \sqrt 2 \cdot \cos(\omega t +\phi)$

En tu programa de cálculo, en la fuente de tensión has puesto (por despiste) 5.000 Vpk en vez de 7.071 Vpk, por lo tanto los resultados numéricos que proporciona han de ser necesariamente incorrectos.

Saludos.

[danielandresbru]

Re: Voltaje eficaz qe atraviesa la mano de una persona

Vale Alriga y Julian muchas gracias, la resolución del problema si es como dice Alriga, lo que pasa es que no había visto la diferencia de corriente en estado estacionario y transitorio, y sólo he visto circuitos de corriente continua, y no sabía bien esa simplificación que se puede hacer cuando se trabaja en corriente alterna (para parecerse a la continua)(que ahora la veo mucho mejor), por eso era mi insistencia con el estado transitorio, pero muchas gracias por todo.