1r ciclo Ejercicio de rotación alrededor de un eje arbitrario

[Lorentz]

Buenas, querría saber si alguien me podría ayudar a entender un ejercicio. Lo he resuelto pero creo que he debido meter la pata en algún momento. Ahí va:


[FONT=CMR10]Hallar los transformados de los vectores de la base canónica de [/FONT][FONT=CMBX10]R[/FONT][FONT=CMR7]3 [/FONT][FONT=CMR10]bajo una rotación [/FONT][FONT=CMMI10]R [/FONT][FONT=CMR10]de ángulo $\frac{\pi}{3 }$[/FONT][FONT=CMR10] alrededor[/FONT]
[FONT=CMR10]del eje [/FONT][FONT=CMBX10]u [/FONT][FONT=CMR10]= $\frac{1}{\sqrt{3} }$[/FONT][FONT=CMR10](1[/FONT][FONT=CMMI10], -[/FONT][FONT=CMR10]1[/FONT][FONT=CMMI10], [/FONT][FONT=CMR10]1). Calcular el producto escalar del vector [/FONT][FONT=CMBX10]x [/FONT][FONT=CMR10]= (1[/FONT][FONT=CMMI10], [/FONT][FONT=CMR10]1[/FONT][FONT=CMMI10], [/FONT][FONT=CMR10]1) con su transformado bajo [/FONT][FONT=CMMI10]R

Aquí está mi resolución:

Sabemos que la matriz de rotación alrededor de un eje arbitrario u en R3 es [/FONT]$R=\cos\theta*I+(1-\cos\theta)u{u}^{ *}+\sin\theta\begin{pmatrix}0 &\ -u_{3}&\ {u}_{ 2}\\\ u_{3 } & 0 &\ -u_{ 1}\\\ -u_{2 }&\ u_{1 } & 0\end{pmatrix}$

Sustituyendo el ángulo y los elementos de u obtengo la matriz

$R=\frac{1}{3 }\begin{pmatrix}2 & -2 & -1\\ 1& 2 &-2 \\ 2 & 1 & 2\end{pmatrix}$

He comprobado que es una rotación dado que su determinante es 1 y su matriz traspuesta coincide con su inversa.

El problema que se me plantea es el siguiente. Aplico la matriz de rotación al vector ${e}_{1 }$ y obtengo el vector $v=\frac{1}{3 }\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$, y entonces supongo (y a lo mejor es mi fallo) que el producto escalar del transformado por R y el vector de partida debe tener como ángulo aquel con el que piden la rotación, es decir, $\frac{\pi}{3 }$

Haciendo el producto escalar $\vec{{e}_{1 }}\cdot\vec{v}=\frac{2}{ 3}$ y teniendo en cuenta que tanto la norma de ${e}_{ 1}$ como la norma de $\vec{v}$ es 1 me sale que $\cos\theta=\frac{2}{3 }$ lo cuál me da un ángulo que no es $\frac{\pi}{ 3}$

¿Podríais darme alguna pista de qué es lo que estoy haciendo mal o si algún concepto no me ha quedado claro por favor?

Un saludo

[Jose D. Escobedo]

Re: Ejercicio de rotación alrededor de un eje arbitrario

Aqui estas hablando del grupo ciclico $C_6$ que es un subgrupo del grupo diedral del exagono, es decir estas considerando unicamente las rotaciones y no las reflexiones. De cualquier forma, como los vectores son los que estan rotando en verdad estas describiendo una piramide recta de base exagonal regular y no puedes comparar los angulos del exagono con los angulos de las caras laterales de dicha piramide. El operador $R$ transformo al vector $\vec{x}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ en $R\vec{x} =\begin{pmatrix} -1/3 \\ 1/3 \\ 5/3 \end{pmatrix}$ cuyo producto escalar es igual a $5/3$ con angulo entre dichos vectores de $\cos \theta = \dst \frac{5}{9 }\Rightarrow \theta \approx 56.2510...$ porque no es el angulo de la base exagonal, pero el angulo proyectado de una cara lareral de la piramide.


Saludos

[Lorentz]

Re: Ejercicio de rotación alrededor de un eje arbitrario

Gracias por la respuesta Jose