Secundaria Ecuación trayectoria

[The Higgs Particle]

La ecuación de movimiento de cierto cuerpo en el plano XY es:

$\vec r = 4 cos(3t)\hat{\imath}+4sin(3t)\hat{\jmath}$

a) Demuestra que la ecuación de la trayectoria de dicha partícula es una circunferencia centrada en el origen y de radio $4$m.

- La primera forma que se me ha ocurrido es chapucera. En una circunferencia, el vector de trayectoria es el radio y (el módulo) es constante. Por ello:

$|\vec{r}| = \sqrt{4^2 \times \left((cos(3t))^2 + (sin(3t))^2 \right)} = 4$ $\times \sqrt{(cos(3t))^2 + (sin(3t))^2 }= 4 \times 1 \to r = 4 = cte.$

No sé si esto sirve para demostrar que es una circunferencia. En cualquier caso, lo único que se me ocurre para demostrar que está centrada en el origen de coordenadas es que:

$\vec{r}(0) = (0,0)$

- La segunda sería sacar la ecuación de la trayectoria por el parámetro $t$

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De donde:

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Por lo que:

$arcocos(x/4) = arcosin(y/4) \to y = 4 \times arcocos(x/4)$ (1)

Ese "$arcocos(x/4)$" implica que para un ángulo $\phi \to cos(\phi) = \dst \frac{x}{4} \to sin(arcocos(x/4)) = sin(\phi)$

Entonces:

$sin(\phi) = \dst \sqrt{1 -cos^2(\phi)} = \sqrt{1- \dst \left( \frac{x}{4} \right)^2}$

Sustituyendo en (1):

$y = 4 \times \sqrt{1- \dst \left( \frac{x}{4} \right)^2} \to \dst \frac{y^2}{16} = 1 - \dst \frac{x^2}{16}$

Es decir:

$\boxed{y^2+x^2 = r^2}$

Siendo $r=4$

[Alriga]

Re: Ecuación trayectoria

La definición de una circunferencia (en el plano) es: el lugar geométrico de los puntos de ese plano que cumplen:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$$

En tu caso:

$x=4 \cos 3t$

$y=4 \sin 3t$

Solo has de demostrar que ese par de ecuaciones cumplen (1) con a=0 b=0 y R=4 Sustituyendo

$(x-0)^2+(y-0)^2=x^2+y^2=4^2(\cos^2 3t +\sin^2 3t)=4^2$

Por lo tanto el par de ecuaciones originales corresponden a una parametrización de una circunferencia.

Tus demostraciones en mi opinión están bien, pero son algo más "retorcidas" que esta, que es la más "natural"

Saludos.

[alexpglez]

Re: Ecuación trayectoria

No hace falta dar tantas vueltas:

$$\vec r=x \vec \imath + y \vec \jmath$$

o parametricamente como expresaste anteriormnente.
La ecuación:

$$(x-a)^2 + (y-b)^2=R^2$$

Define la circunferencia, centrada en a,b.
Así que suponiendo que está centrada en el 0,0. Puedes calcular simplemente:

$$x^2+y^2=4^2(\cos ^2 3t + \sin ^2 3t)=4^2$$

De donde obtienes que $R=4$
Y no hace falta dar tantas vueltas.

- - - Actualizado - - -

PD: se me adelantó Alriga :P

- - - Actualizado - - -

De todas formas hay una cosa que no está bien:

$$\vec r(0)=(4\cos 0, 4 \sin 0)=(4,0)$$

Y otro detalle también que:

$$\cos ^2 \phi + \sin^2 \phi=1$$

No implica que:

$$\sin \phi=\sqrt{1-\cos ^2 \phi}$$

Ya que al hacer la raíz cuadrada puede dar + o -. Lo correcto sería:

$$\vert \sin \phi \vert =\sqrt{1-\cos ^2 \phi}$$

[felmon38]

Re: Ecuación trayectoria

De todas formas, a mí me parecen muy bien los dos métodos utilizados por The Higgs.., exceptuando la demostración de donde está el centro de la circunferencia, en el primer caso.
Saludos