1r ciclo Velocidad relativa II

[The Higgs Particle]

Un malabarista viaja en un tren y lanza verticalmente una bola a 4.9 m/s. El tren va rumbo al este a una velocidad de 20 m/s. Según un observador exterior (fuera del tren, a la misma altura que el malabarista y en reposo sobre el suelo):
a) ¿Cuál es la velocidad inicial de la bola?
b) ¿Cuál es el ángulo de lanzamiento?
c) ¿Cuál es el desplazamiento de la bola en su ascenso?

a) $\vec{v_0} = 20 \hat{\imath} + 4.9 \hat{\jmath} (m/s) \to \boxed{|\vec v| = 20.59 (m/s)}$


b) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


c) De esta no estoy nada segura, porque me parece que más que obtener el espacio recorrido estoy calculando el módulo del vector posición...

Por definición:

$\vec{v} = \dst \frac{\dd \vec{r}}{\dd t} \to \dd \vec{r} = \vec{v} \dd t \to \vec{r} = \dst \int\vec{v} \dd t$ $\to \vec{r} = \left( \dst \int v_x \dd t \right) \hat{\imath} + \left( \dst \int v_y \dd t \right)\hat{\jmath}$

Donde:

$v_x(t) = cte = 20 (m/s)$
$v_y = v_0(y) - gt$

Así:

$\vec{r} = \left( \dst \int v_x \dd t \right) \hat{\imath} + \left( \dst \int (v_0(y) - gt) \dd t \right) \hat{\jmath}= \left( v_xt \right)\hat{\imath} +\left( v_0(y)t - \dst \frac{1}{2}gt^2 \right) \hat{\jmath}$

Es decir, es la suma de las nuevas posiciones en el eje OX (MRU) y en el eje OY (MRUR)

El tiempo $t$ corresponde al momento en el que la altura es máxima:

$v(y) = 0 \to 0 = v_0(y) - gt \to t =\dst \frac{v_0(y)}{g}$

Por lo que:
$\vec{r} = v_x \left( \dst \frac{v_0(y)}{g}\right)\hat{\imath} + \left( v_0(y)\left( \dst \frac{v_0(y)}{g}\right) - \dst \frac{1}{2}g \left( \dst \frac{v_0(y)}{g}\right)^2 \right)\hat{\jmath}$$= v_x \left( \dst \frac{v_0(y)}{g}\right)\hat{\imath} + \left( \dst \frac{1}{2} \frac{v_0^2(y)}{g} \right)\hat{\jmath}$

De forma que:

$|\vec r| = 10.07 (m)$

[Alriga]

Re: Velocidad relativa II

Lo veo bien, mi aporte es solo conceptual, yo enfocaría la resolución de forma más sistemática aplicando que la velocidad absoluta es la suma vectorial de la velocidad relativa más la velocidad de arrastre, pensando en álgebra vectorial en el plano en vez de geometría, aunque los resultados han de ser obviamente los mismos, es más difícil equivocarse, no sé si me explico:

b=bola
t=tren
s=suelo

$\vec v_{bt}=0 \vec i+4.9 \vec j$

$\vec v_{ts}=20 \vec i+0 \vec j$

$\vec v_{ts}=\vec v_{bt}+\vec v_{ts}=20 \vec i+4.9 \vec j$

Buscando el módulo y el argumento de este vector resuelves los 2 primeros apartados.
Sin comprobar los cálculos, el planteamiento del tercer apartado lo veo correcto.

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Velocidad relativa II

Perdona que vuelva a molestarte con esto, Alriga, pero es que tengo la sensación de que lo sigo haciendo mal:

1)

c) ¿Cuál es el desplazamiento de la bola en su ascenso?

c) De esta no estoy nada segura, porque me parece que más que obtener el espacio recorrido estoy calculando el módulo del vector posición...

(...)

$\vec{r} = v_x \left( \dst \frac{v_0(y)}{g}\right)\hat{\imath} + \left( \dst \frac{1}{2} \frac{v_0^2(y)}{g} \right)\hat{\jmath}$

De forma que:

$|\vec r| = 10.07 (m)$

Lo que yo calculé, ¿no equivale, en este dibujo a $\Delta \vec{r} = \vec{r} - \vec{r_0} = \vec{r}$ en vez de a $\Delta s$?

2) Por otra parte, la distancia horizontal recorrida es $x = v_x \left( \dst \frac{v_0(y)}{g}\right)$, y la vertical: $y = \dst \frac{v_0^2(y)}{2g}$, por lo que la distancia total recorrida sería $d = x + y$, pero tampoco coincide con $\Delta s$



3) Si, por otro lado, calculo la gráfica velocidad-tiempo del movimiento, obtengo:

Calculando el área bajo la curva (he aproximado la parte superior como la mitad de un cuadrado de $0.5 \times 0.5$) me sale un valor diferente a todas las formas anteriores ($\approx 10.11$).
Y supongo que equivaldría a decir:

$S = \dst \int |\vec v| \dd t = \dst \int \left( \sqrt{(v_0(x)^2 + \left( v_0(y) - gt\right)^2)} \right) \dd t$

No sé cuál es la forma correcta ni entiendo en qué estarían mal tanto la segunda como la tercera

- - - Actualizado - - -

Actualizo, que no me había dado cuenta: por qué está 2) mal sí lo entiendo. Pero siguen saliéndome 1) y 3) diferentes. ¿Es 3) la correcta?

[Alriga]

Re: Velocidad relativa II

La verdad es que no le presté mucha atención a este apartado, perdona.
Obtenidas las dos componentes de la velocidad, en el eje vertical tendrás un movimiento uniformemente acelerado y en el horizontal un movimiento uniforme. Luego la trayectoria será la clásica del tiro parabólico, que parametrizada por el tiempo como variable independiente tiene esta conocida forma:

$\vec r(t)=x(t) \vec i + y(t) \vec j$

$$x(t)=4.9 \ t$$

$$y(t)=20 \ t - \dfrac 1 2 \ g \ t^2$$

Derivando estas expresiones, la longitud de la trayectoria se calcula:

$\dst L=\int_0^{t_1} \sqrt{(\dfrac{dx}{dt})^2+ (\dfrac{dy}{dt})^2} \ dt$

Otra forma es despejar t en la ecuación (1) y sustiturlo en la ecuación (2), obteniendo con ello y=y(x) Entonces tenemos la ecuación de la trayectoria “y” parametrizada por el desplazamiento horizontal “x”

Entonces la longitud de la trayectoria también se puede calcular con:

$\dst L=\int_0^{x_1} \sqrt{1+ (\dfrac{dy}{dx})^2} \ dx$

Saludos.

[alexpglez]

Re: Velocidad relativa II

[ATTACH=CONFIG]11420[/ATTACH]

Viene de perlas el dibujo. El 1) que has señalado equivaldría al vector apuntado en azul, y si lo que quieres es calcular la longitud del vector, ya sabes, con el módulo. El 3) equivale a lo que ha recorrido es decir a $\Delta s$ que como bien señaláis Alriga y tú es esa integral que escribís.
Así pues el apartado que indicas es una cuestión semántica, depende de como definas desplazamiento. No recuerdo muy bien como lo definían mis profesores de secundaria, creo que era 1) y lo que nos salían pedir era el vector desplazamiento, pero no sé si es estándar para todos los profesores esta nomenclatura o depende del profesor, (mis profesores para el 3) utilizaban espacio recorrido).

- - - Actualizado - - -


Wikipedia lo define así como lo acabo de escribir. El desplazamiento es el vector azul y la distancia o la distancia recorrida es el escalar de color rojo. https://es.wikipedia.org/wiki/Desplazamiento_(vector)

O sea la repuesta correcta del ejercicio es la 1).