1r ciclo Oscilador, teoremas de conservación.

[Visitante]

Hola! Creo que me la estoy rebuscando mal para resolver éste problema y que puede salir de forma más sencilla (la idea es aplicar los teoremas de conservación, lineal, angular y energía):

"Un cuerpo de masa m se halla sujeto a un resorte, de constante elástica k y longitud librel0, cuyo otro extremo está fijo a un eje. El sistema se encuentra sobre una superficiehorizontal libre de rozamiento. En el instante inicial el resorte tiene una longitud 2 l0 y lamasa m tiene una velocidad v0 formando un ángulo α con la dirección del resorte.
a) Diga qué magnitudes se conservan, justificando su respuesta.
b) Calcule la velocidad angular y la velocidad radial del cuerpo cuando la longitud delresorte es l = (3/2) l0."

Desde el vamos no me hago mucha idea de cómo es el sistema ya que no incluye una ilustración el problema, asique asumo que se trata de un resorte fijo a un punto extendido hacia la masa, de tal forma que la altura del punto de fijación, el desplazamiento de la masa y la long del resorte forman un triángulo rectángulo... :/

El momento lineal no se conserva, el momento angular se conserva con respecto al punto de fijación del resorte ya que el torque del peso y la normal se cancelan entre sí y la Fel es central (rxr=0), la energía mecánica se conserva (Wfnc=0).

Con la segunda parte tengo un poco de problemas. Trabajando con la conservación del momento angular averigüé la velocidad en 3/2l0...Ahora, $\vec{V}=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{d\theta}{dt}\hat{\theta}$, por lo tanto debería de averiguar alguna de las dos velocidades y volver a la expresión anterior...

Entonces si $r=\sqrt{{x}^{ 2}+{y}^{2 }}$ e y (la altura del punto fijo del resorte) es constante $\Rightarrow\frac{dr}{dt }=\frac{1}{2\sqrt{{x}^{ 2}+{y}^{2 }} }2x\frac{dx}{dt }=\frac{x}{r }\frac{dx}{dt }$. Debería de averiguar el desplazamiento en x para calcular la velocidad radial (r ya lo tengo, es la longitud del resorte en ese instante). Ahora entra el teorema de conservación de la energía, puedo calcular la energía total con las condiciones iniciales v0 y r0, igualarla a la expresión para r=3/2l0 y despejar mi x (por supuesto debería de ver qué fuerza neta es la que actúa en x, en este caso la componente paralela al desplazamiento de Fel, e integrar para obtener el potencial)...y con eso finalizaría el ejercicio.

Está bien pensado o hay alguna manera más sencilla que no esté viendo? Gracias!

Edit: Cada minuto que pasa me convenzo más de que lo estoy pensando mal o lo interpreté mal, jeje.

Si lo pienso como un resorte adherido a la superficie horizontal y la masa oscilando en torno a él, el problema sale todo de una aplicando conservación de momento cinético.

[alexpglez]

Re: Oscilador, teoremas de conservación.

Trabajando con la conservación del momento angular averigüé la velocidad en 3/2l0...Ahora, $\vec{V}=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{d\theta}{dt}\hat{\theta}$, por lo tanto debería de averiguar alguna de las dos velocidades y volver a la expresión anterior...

No hace falta irse tan lejos, además lo que expones después es incorrecto. Te contesto a esto primero y después te digo por qué es incorrecto. Como bien has dicho el momento angular se conserva ya que la fuerza es radial y por tanto los dos vectores paralelos $\vec \tau=\vec r \times \vec F=0$, esto te dice que el momento angular se conserva, ¿pero cuákl es la expresión del mismo?

$$\vec r=r \hat r=r(\cos \phi, \sin \phi)$$

$$\vec v=\frac{d \vec r}{dt}=\frac{dr}{dt}\hat r+r \frac{d \hat r}{d\phi}\frac{d \phi}{dt}=\frac{dr}{dt}\hat r+r \omega \hat \phi \;\;\; \hat \phi=(-\sin \phi,\cos \phi)$$

Entonces calculando los productos tienes que $\hat r \times \hat r=0 \;\; \hat \phi \times \hat \phi=0 \;\; \hat r \times \hat \phi=\hat k=(0,0,1)$
Luego el momento angular:

$$\vec L=\vec r \times \vec p=mr \hat r \times( \frac{dr}{dt}\hat r+r \omega \hat \phi)=mr^2 \omega \hat k$$

Con los datos iniciales que te dan creo que ya lo puedes hallar. Como has visto, cualquier componente radial del momento da una contribución 0 al momento angular.

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Se me olvidaba el resto, con los datos iniciales lo primero es descomponer la velocidad en las componentes radial y angular, a partir de ahí es sencillo hallar el momento angular y la energía mecánica. Mediante la conservación del momento angular, podrás hallar fácilmente la velocidad angular en las condiciones que te piden, y mediante después la conservación de la energía, parece que puedes calcular la velocidad radial.

Una segunda opción bastante más larga, sería integrar las ecuaciones de movimiento e ir despejando incógnitas... no tiene mucho sentido esta vía si lo puedes hacer por los teoremas de conservación.

Y paso a comentar lo que proponías:

Entonces si e y (la altura del punto fijo del resorte) es constante . Debería de averiguar el desplazamiento en x para calcular la velocidad radial (r ya lo tengo, es la longitud del resorte en ese instante). Ahora entra el teorema de conservación de la energía,

Yo he ido operando anteriormente considerando la altura =0, no es muy ventajoso considerarla ya que es constante y queda mejor igualarlo a 0 eligiendo así el sistema de referencia más simple. Por otra parte si que debes considerar que el muelle está rotando, ya que la superficie de la mesa tiene dos direcciones, largo y ancho. Así pues lo que vienes a argumentar aquí no está bien razonado por esto mismo.