1r ciclo Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

[SCHRODINGER27]

Hola buenas, tengo el siguiente problema:

Un objeto de masa 2 kg, está sujeto en la parte superior de un muelle vertical que está anclado al suelo. La longitud natural del muelle es de 0.08 m y la longitud del muelle cuando el objeto está en equilibrio es de 0.05 m. Cuando el objeto está en reposo en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo, de tal manera que la velocidad inicial es de 0.3 m/s.

a) ¿A qué altura máxima, respecto al nivel del suelo, se elevará el objeto?
b) ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en alcanzar la máxima altura la primera vez?
c) ¿Volverá el muelle a estar sin compresión? ¿Qué velocidad inicial mínima debe darse al objeto para que el muelle no tenga compresión en un instante dado?

Como siempre, antes de acudir a ayuda externa, lo he intentado, obteniendo:

En el apartado a), después de obtener que la constante de muelle es k=654 N/m y que la amplitud de M.A.S es A=0.016 m, obtengo que la altura es h=0.066 m.

Para el apartado b) no sé cómo hacerlo, tengo el periodo T, que es T=0.347 segs, pero no sé que fracción del periodo tarda en alcanzar el punto máximo, t. Esta es la principal duda.

Tampoco sé cómo hacer el apartado c).

Agradecería ayuda, de verdad, gracias de antemano.

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

a) lo tienes bien

b)En un cuarto de periodo el objeto desciende desde el equilibrio hasta el punto mínimo o inferior, luego en otro cuarto de periodo asciende pasando el punto de equilibrio, y en un cuarto mas llega al máximo, por supuesto con un cuarto de ciclo mas termina un ciclo del movimiento armónico, por lo tanto el tiempo es $\frac 34 T$

c) como ya has determinado que la altura máxima que alcanza es 0,066mm no vuelve a alzanzar los 0,08m que tiene de longitud cuando esta en reposo.

para hallar la velocidad mínima necesaria debes usar misma formula que te permitió hallar la amplitud, pero ahora debes hallar la velocidad usando como dato una amplitud de 0.08m-0.05 m=0.03m entre cuando el tiene longitud natural y cuando esta comprimido por el peso de la masa.

Saludos

[Alriga]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Las indicaciones de Richard son todas correctas y te llevan a la solución de cada uno de los apartados, que desarrollados quedan así:

a) $F=mg=2 \cdot 9.81=19.62 \ N$

$F=-k(\Delta x)$

$k=-\dfrac{19.62}{0.05-0.08}=654 \ N/m$

$\omega=\sqrt{\dfrac k m}=\sqrt{\dfrac{654}{2}}=18.0831 \ rad/s$

Utilizando la expresión que indicaba Al2000 en el ejercicio de ayer

$x^2 + \dfrac {v^2}{\omega ^2} = A^2$

$0^2 + \dfrac {v_0^2}{\omega ^2} = A^2$

$A=\dfrac{v_0}{\omega}=\dfrac{0.3}{18.083}=0.0166 \ m$

$h_{max}=h_0+A=0.05+0.0166=0.0666 \ m$

b) $T=\dfrac{2 \pi}{\omega}=0.3475 \ s$

... En un cuarto de periodo el objeto desciende desde el equilibrio hasta el punto mínimo o inferior, luego en otro cuarto de periodo asciende pasando el punto de equilibrio, y en un cuarto mas llega al máximo, por supuesto con un cuarto de ciclo mas termina un ciclo del movimiento armónico, por lo tanto el tiempo es $\frac 34 T$

$t_{3/4}=\dfrac 3 4 0.3475=0.2606 \ s$

c)

... como ya has determinado que la altura máxima que alcanza es 0,066mm no vuelve a alzanzar los 0,08m que tiene de longitud cuando esta en reposo ...

$h_{max}=0.0666 \ < \ 0.08$ Por lo tanto no volverá a estar sin compresión

... para hallar la velocidad mínima necesaria debes usar misma formula que te permitió hallar la amplitud, pero ahora debes hallar la velocidad usando como dato una amplitud de 0.08m-0.05 m=0.03m entre cuando el tiene longitud natural y cuando esta comprimido por el peso de la masa ...

$0^2 + \dfrac {v_0^2}{\omega ^2} = A^2$

Para que esté sin compresión deberemos dar una velocidad inicial que consiga que $A=0.08-0.05=0.03 \ m$

$v_0=A \cdot \omega=0.03 \cdot 18.0831=0.5425 \ m/s$

Saludos.

[SCHRODINGER27]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Gracias a ambos Richard R Richard y Alriga. Simplemente tengo algunas dudas en el apartado c), por energías obtendría que la velocidad inicial sería:

$v_0 = \sqrt{2 g \Delta y} = 0.767 m/s$

No obtendría la misma velocidad y no entiendo por qué. Más gente de clase obtiene el resultado obtenido por energías.

Insisto, gracias a ambos, de verdad. Está todo muy claro y genial.

[Alriga]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

$E_{mecanica}=E_{pot \ max}=\dfrac 1 2 k A^2=\dfrac 1 2 654 \cdot 0.03^2= 0.2943 \ J$

$E_{mecanica}=E_{cin \ max}=\dfrac 1 2 m v_0^2$

$v_0=\sqrt{\dfrac{2E_{mec}}{m}}=\sqrt{\dfrac{2 \cdot 0.2943}{2}}=0.5425 \ m/s$ 0.52425

Saludos.

[SCHRODINGER27]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Me habré equivocado, voy a repasarlo, gracias!!

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

la energia del resorte en el punto de equilibrio

$E_e=\frac12K\Delta^2x$

Y la cinética en el punto de equilibrio $E_c=\frac12mv_o^2$

la energia potencial

$<br /> E_p=mg \Delta h$

igualando

$<br /> <br /> mg \Delta h=\frac12mv_o^2+\frac12K\Delta^2x$

pero $\cancel{\Delta x \neq \Delta h=A}$

[alexpglez]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Es más, si se trabaja respecto al punto de equilibrio es eliminable el término gravitatorio quedando la conocida expresión de la energía:

$$E=\frac{1}{2}m(v^2+\omega^2 x^2)$$

Es decir, queda finalmente la misma expresión de Alriga, aplicando la conservación de la energía con v=v_0 x=0 y x=A>d y v_0=0, donde d es la distancia en reposo del muelle.

PD: vi que mientras contestaba Richard había contestado, no me había fijado que Alriga también.

Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Un compañero me ha pasado la resolución de Tipler y hace lo siguiente:

Usando la conservación de la energía, siendo la energía potencial nula $U_g = 0$ , a 0.05 m por encima del suelo, la altura a la que el objeto se eleva es $\Delta y= L - y_i = 0.03 m$ tal y como está planteando en posts anteriores.

$\Delta K + \Delta U_g + \Delta U_s = 0$

pues $\Delta K_f = U_i = 0$. Se tiene que:

$\frac{1}{2} m v_i^2 - mg \Delta y + \frac{1}{2}k (\Delta y)^2 - \frac{1}{2}k(L-y_i)^2 = 0$

y como $\Delta y= L-y_i$ , se tiene que:

$\frac{1}{2} m v_i^2 - mg \Delta y + \frac{1}{2}k (\Delta y)^2 - \frac{1}{2}k (\Delta y)^2 = 0$

es decir:

$\frac{1}{2} m v_i^2 - mg \Delta y = 0$

de donde, siendo $\Delta y=0.03 m$ por lo que habéis dicho:

$v_i = \sqrt{2 g \Delta y} = 0.767 m/s$

Que es la velocidad mínima que debe darse al objeto para que no se comprima. No sé si es correcto pero también da el resultado distinto. ¿Dónde puede estar el problema? ¿Está mal la resolución del Tipler? Gracias a todos por sus respuestas

[alexpglez]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

El problema creo que está en los términos:

$$\frac{1}{2}k(\Delta y)^2-\frac{1}{2}k(L-y_i)^2$$

La energía potencial de un muelle viene dado por:

$$\frac{1}{2}k(x-x_0)^2+C$$

donde C es una constante arbitraria (que se toma 0 por simplicidad ya que al tomar la diferencia de energías da igual el valor que se le de) y x_0 es el punto de reposo.

Si consideras $\frac{1}{2}k(\Delta y)^2$ la energía inicial donde $\Delta y=L-y_i$ el segundo término sería $\frac{1}{2}k(L-y_f)^2$ pero es que las condiciones finales justo son $L=y_f$. Por lo que si no me equivoco la ecuación sería:

$$\frac{1}{2} m v_i^2 - mg \Delta y + \frac{1}{2}k (\Delta y)^2 = 0$$

Ó si lo queremos expresar condiciones final - inicial:

$$mg \Delta y -(\frac{1}{2} m v_i^2+\frac{1}{2}k (\Delta y)^2) = 0$$

Si no me he equivocado esto daría el resultado.

- - - Actualizado - - -

Resolviendo el resultado me da $v_i=0,5419 \; m/s$, no sé si será porque me tira más error al hacer los cálculos con muchos datos o es que no está correcto del todo.

- - - Actualizado - - -

Nuestros resultados anteriores, como los que te ha detallado Alriga en detalle se basan en que cuando consideras un muelle y ajustas su punto de reposo respecto de las fuerzas constantes (como la gravedad), puedes olvidarte de estas fuerzas constantes.
Se puede resolver mediante un truco (un cambio de variable) en la ecuación diferencial, o mediante un cambio de variable por energías:

$$E_p=\frac{k}{2}(x-x_0)^2+Fx=\frac{k}{2}(x-x'_0)^2+C$$

Eliminando la constante tienes la ecuación de un muelle, o sea que tratar una fuerza constante + un muelle es equivalente a tratar otro muelle con longitud de reposo distinta y misma k. Si además elegimos mover el eje x haciendo que $x+x_0'=x' \rightarrow x$ tenemos un problema mucho más que sencillo:

$$E_p=\frac{k}{2}x^2$$

El problema es encontrar x_0', que a ti ya te lo da el enunciado. Que da $x_0'=x_0-\frac{F}{k}$.

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

reitero mi planteo , ahora tengo un ratito mas de tiempo, para usar conservación de la energía debes identificar cuales son las componentes de la energía mecánica inicial y final

Por un lado te tienes que vas a imprimir una velocidad incógnita $v_0$ es decir el sistema parte con energía cinética $Ec_i=\frac12 mv_0^2$
Si consideramos que el nivel donde el resorte y la masa se hallan en equilibrio es nivel 0 de energía potencial gravitatoria entonces $Ep_i=0$
Por otro lado sabemos que allí el resorte esta comprimido y tiene una energía potencial elástica $ER_i=\frac 12K\Delta x^2$

En el estado final la masa tiene velocidad nula por lo tanto la energía cinética es nula $Ec_f=0$
Como el enunciado te dice que el resorte queda sin compresión a esa altura la energia potencial elastica final es nula $ER_f=0$
Y como ha ganado altura la energía potencial gravitatoria es $Ep_f=mg\Delta h=mg\Delta y=mg A$ como lo quieres llamar.

entonces la sumatoria de energías iniciales debe ser igual al de las finales

$Ec_i+Ep_i+ER_i=Ec_f+Ep_f+ER_f$

$\frac12 mv_0^2+\frac 12K\Delta x^2=mg A$


de donde $v_0=\sqrt{\dfrac{2(mg A-\frac 12K\Delta x^2)}{m}}=0,541m/s$

fijate que

$\frac{1}{2} m v_i^2 - mg \Delta y + \frac{1}{2}k (\Delta y)^2 - \frac{1}{2}k(L-y_i)^2 = 0$

y como $\Delta y= L-y_i$ , se tiene que:

$\frac{1}{2} m v_i^2 - mg \Delta y + \frac{1}{2}k (\Delta y)^2 - \frac{1}{2}k (\Delta y)^2 = 0$

es decir:

$\frac{1}{2} m v_i^2 - mg \Delta y = 0$

la primer formula no esta bien , y debiste poner


$\frac{1}{2} m v_i^2 - mg \Delta y + \frac{1}{2}k (\Delta y)^2 = 0$





saludos

[Alriga]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Por un lado te tienes que vas a imprimir una velocidad incógnita $v_0$ es decir el sistema parte con energía cinética $Ec_i=\frac12 mv_0^2$
Si consideramos que el nivel donde el resorte y la masa se hallan en equilibrio es nivel 0 de energía potencia gravitatoria entonces $Ep_i=0$
Por otro lado sabemos que allí el resorte esta comprimido y tiene una energía potencial elástica $ER_i=\frac 12K\Delta x^2$

Ups, pues no lo veo...
Para mí ahí, el conjunto (muelle+masa de 2 kg) que es lo que estamos estudiando, no tiene energía potencial elástica, sino que está en su punto de equilibrio: si lo "sueltas" se queda ahí, no se mueve.
Para mí un conjunto elástico tiene energía potencial elástica cuando está estirado o comprimido, no cuando está en la posición de equilibrio. El muelle "por si solo" sí tendría energía potencial elástica, pero desde el punto de vista de que si quito la masa de 2 kg que hay sobre él se expandirá, pero repito, creo que el conjunto muelle+masa, no la tienen en ese punto.
Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Ups, pues no lo veo...
Para mí ahí, el conjunto (muelle+masa de 2 kg) que es lo que estamos estudiando, no tiene energía potencial elástica, sino que está en su punto de equilibrio: si lo "sueltas" se queda ahí, no se mueve.

Quiza no fui claro al escribir , pero esto seguro lo sabes al dedillo y lo explicas mejor que yo....
la longitud natural del resorte es 0.08 m y es la longitud en la cual el resorte no almacena energía potencial elástica, si sobre el coloco una masa el peso de esta lo comprime hasta la posición de equilibrio, la variación del energía potencial gravitatoria es igual a la variación de energía potencial elástica almacenada en el resorte. Y si lo suelto el resorte vuelve a la posición de longitud natural.
Yo interpreto que en el problema la masa parte del equilibrio con el resorte en la posición $\Delta x =0.03m$ respecto de la longitud natural, con velocidad $v_0$ hacia abajo.

Para mí un conjunto elástico tiene energía potencial elástica cuando está estirado o comprimido, no cuando está en la posición de equilibrio.

Si le colocas la masa arriba ya no tiene la longitud natural y por lo tanto se comprime, por eso tiene energía potencial elástica, estando en equilibrio. Cuando adicionalmente se le da energía cinética describirá un MAS alrededor del punto de equilibrio.

El muelle "por si solo" sí tendría energía potencial elástica, pero desde el punto de vista de que si quito la masa de 2 kg que hay sobre él se expandirá, pero repito, creo que el conjunto muelle+masa, no la tienen en ese punto.
Saludos.

Aqui es donde diferimos, pues si de alguna manera quito la masa, el muelle tiene aún capacidad de realizar trabajo, debido a la energía que acumuló , pero no sucede lo mismo cuando su longitud es igual a la longitud natural.Se me ocurre el ejemplo de la ballesta, mientras comprimes ganas energia potencial,aplicandole fuerza o peso, llegas al equilibrio, la trabas, y puedes colocar alli cualquier proyectil , jalas del gatillo y se libera la energia potencial. aludos


Releyendo un poco el Hilo veo que no diferimos tanto en resultado, solo la manera de encararlo, igualmente alexgplez hace un planteo similar y arriba al mismo valor
Saludos

[alexpglez]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Ups, pues no lo veo...
Para mí ahí, el conjunto (muelle+masa de 2 kg) que es lo que estamos estudiando, no tiene energía potencial elástica, sino que está en su punto de equilibrio: si lo "sueltas" se queda ahí, no se mueve.
Para mí un conjunto elástico tiene energía potencial elástica cuando está estirado o comprimido, no cuando está en la posición de equilibrio. El muelle "por si solo" sí tendría energía potencial elástica, pero desde el punto de vista de que si quito la masa de 2 kg que hay sobre él se expandirá, pero repito, creo que el conjunto muelle+masa, no la tienen en ese punto.
Saludos.

Alriga, te remito a lo que escribí. Los dos puntos de vista energéticos, tanto de un muelle sólo como el de un muelle más la gravedad son equivalentes:
Un polinomio de segundo grado completo se puede reescribir de la siguiente manera:

$$ax^2+bx+c=a(x+h)^2+g$$

La prueba es que para a, b y c reales se pueden encontrar h y g y son únicos.
Podemos aplicar lo mismo al tratamiento por energías (L es la longitud del muelle en reposo, sin actuar ninguna fuerza incluida la gravedad):

$$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{k}{2}(x-L)^2+mgx=\frac{1}{2}mv^2+\frac{k}{2}(x-L')^2+C$$

Ahora como la energía está completamente definida salvo una constante, podemos definir la energía equivalente:

$$E'=\frac{1}{2}mv^2+\frac{k}{2}(x-L')^2$$

Donde es claro que $L'$ resulta ser la longitud en reposo bajo la fuerza de la gravedad.
Ya que la ecuación de movimiento es $ma=-mg-k(x-L)$, si en L' está en reposo a=0, tenemos que $0=ma=-mg-k(L'-L) \,\;\; L'=L-\frac{mg}{k}$
Sin embargo resolviendo el cuadrado:

$$\frac{k}{2}(x-L)^2+mgx=\frac{k}{2}(x-L')^2+C$$

$$\frac{k}{2}x^2 - kxL + \frac{k}{2}L^2+mgx=\frac{k}{2}x^2 - kxL' + \frac{k}{2}L'^2+C$$

$$(mg-kL)=-kL' \;\;\; L'=L-\frac{mg}{k}$$

Resumiendo: Ambos tenéis razón, que no nos de el tercero decimal, 0.5425 m/s y 0,5419 m/s será calcular con más o menos error de las varibles que usamos.
PD: Respecto a esto último, creí que lo había hecho mal porque me daba 0,5419 y no me cuadraba el segundo decimal de tu segunda intervención 0,52425, pero acabo de ver ahora que es porque lo copiaste mal el número (y lo habías dado bien en tu primer mensaje ).

[arivasm]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Veo que existe una cierta discrepancia entre Richard y Alriga.

Como bien ha señalado Alex, ambos enfoques deberían llevar al mismo resultado. Decir que en la posición de equilibrio del sistema el resorte posee energía potencial elástica, como dice Richard, equivale a situar el cero de la misma en la longitud natural del resorte. Ahora bien, nada impide situar dicho cero en la posición de equilibrio del sistema. Por supuesto, la diferencia entre ambas formas de la energía potencial elástica será una constante. Así, $U_{Richard}=\frac{1}{2}k(l-l_{nat})^2$, mientras que $U_{Alriga}=\frac{1}{2}k(l-l_{nat})^2-\frac{1}{2}k(l_0-l_{nat})^2$ (llamo $l_0$ a la longitud del resorte en la posición de equilibrio del sistema).

Cuando el resorte vuelva a adquirir la longitud natural obviamente $U_{Richard}=0$ mientras que $U_{Alriga}=-\frac{1}{2}k(l_0-l_{nat})^2$.

Quizá a alguien le resulte extraño que una energía potencial elástica pueda ser negativa. Por supuesto que puede serlo... siempre y cuando no manejemos la elección habitual que sitúa el 0 de la misma en la longitud natural del resorte.

Recordemos que todas las energías potenciales están definidas unívocamente salvo una constante de integración, algo que se traduce inmediatamente en la elección de un 0 para las mismas. Estamos muy acostumbrados a hacerlo con la gravitatoria y elegir un h=0, pero no tanto con otras, por el hábito de manejar referencias "habituales" (la separación infinita para las electrostáticas de cargas puntuales, es otro ejemplo).

Con el enfoque de Richard la conservación de la energía aplicada entre la posición de equilibrio y el punto de retroceso superior será de la forma $\frac{1}{2}mv_0^2+mgh_0+\frac{1}{2}k(l_0-l_{nat})^2=mg(h_0+l_{nat}-l_{0})$, mientras que con el de Alriga será $\frac{1}{2}mv_0^2+mgh_0=mg(h_0+l_{nat}-l_{0})-\frac{1}{2}k(l_0-l_{nat})^2$. Evidentemente ambas expresiones conducen al mismo valor para $v_0$

Por supuesto, la mayoría de la gente hará lo que dice Álex: partir del conocimiento de que el peso está anulado por la parte de la fuerza elástica igual a la correspondiente de la de equilibrio y tratar el sistema como si simplemente se hubiese desplazado esta última posición, desde la que corresponde a la longitud natural del resorte, hasta la actual. En tal caso tenemos que $\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}k(l_n-l_0)^2=k(l_n-l_0)^2-\frac{1}{2}k(l_n-l_0)^2$. Como $mg=k(l_n-l_0)$ resulta $\frac{1}{2}mv_0^2=mg(l_n-l_0)-\frac{1}{2}k(l_n-l_0)^2$ que es lo mismo que escribí antes al comparar ambos enfoques.