1r ciclo Hilo semicircular. Campo y potencial eléctrico en el centro

[SCHRODINGER27]

Buenas, tengo problemas con el siguiente ejercicio de electromagnetismo:


Tenemos un hilo semicircular de radio R con una densidad lineal de carga λ constante y positiva.

a)Obtener la expresión del campo eléctrico creado por el hilo en el centro O.
b)Obtener la expresión del potencial creado por el hilo en el centro O.


No puedo adjuntar la foto pero se la pueden imaginar, un semicírculo y el punto O es el centro de la circunferencia. Para hacerlo, creo que hay que usar la ley de Coulomb para distribuciones continuas, lo que no sé es como transformar el diferencial dl para tener una doble integral en la variable radial y en la variable angular de 0 a 180º. Yo lo haría así... Posteriormente, integraría y hallaría el apartado b). La cosa es, paso por paso para aprender por fin, ¿cómo se haría?

Muchas gracias de antemano.

[Al2000]

Re: Hilo semicircular. Campo y potencial eléctrico en el centro

No hay una doble integral, tu problema es una distribución de carga lineal. En este caso la distancia radial es constante (si no lo fuese seguiría siendo una integral sencilla, pero mas complicada de plantear).

A ver si te resulta suficiente guiarte con este dibujo tomado de un ejercicio de calcular el campo de un arco circular:



La idea es dividir la línea de carga en infinitos elementos de longitud $ds = R\, d \theta$ (o $d \ell$, como prefieras), cada uno portando una carga $dq = \lambda \, ds = \lambda R d \theta$ y que produce un campo (en el centro) de magnitud $\dst dE = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {dq}{R^2}$, descomponer el vector es las componentes apropiadas en nuestro sistema de referencia e integrar cada componente.

Los detalles de cómo se descomponga el vector dependerá de cómo plantees tu problema y el sistema de referencia que elijas. El dibujo que anexo aquí hace caso omiso a cualquier sistema de referencia particular y descompone el vector en un sistema intrínseco al filamento, aprovechando la simetría que tiene la distribución.

El mismo esquema lo usarías para calcular el potencial. Fíjate que debes calcular el potencial directamente a partir de la carga y no a partir del campo, pues sólo conoces un valor puntual para el campo y por lo tanto no tienes una función para integrar (lo inverso también es cierto, puedes calcular primero el potencial pero no puedes usar el resultado para determinar el campo, pues sólo tendrías información del potencial en un punto y no tendrías una función para aplicar gradiente).

Ve a ver si el esquema te ayuda y si tienes cualquier duda con el procedimiento, pregunta de nuevo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[SCHRODINGER27]

Re: Hilo semicircular. Campo y potencial eléctrico en el centro

Gracias Al2000, ya me salió más fácil de lo que pensaba!