Divulgación Energía objeto dieléctrico en un campo eléctrico

[Becquerel]

Hola a todos,

¿Alguien podría indicarme cómo puedo demostrar que escribir esta expresión de la energía de un objeto dieléctrico polarizado como respuesta a un campo eléctrico $\mathcal{E}$:

$E = \frac{1}{2 \chi}\int d^{3}x \ |P|^{2} - \int d^{3}x \ P \cdot \mathcal{E}$

Es equivalente a decir que la polarización es: $P = \chi \mathcal{E}$?

Ando un poco confundido y no sé por dónde empezar.

Gracias por vuestra ayuda.

B.

[Mossy]

Re: Energía objeto dieléctrico en un campo eléctrico

Mmm estás seguro de ese resultado? A mí no me salen las cuentas. De hecho no es dimensionalmente correcta. La energía electrostáctica almacenada en términos de los campos $\vec{D}$ y $\vec{E}$ es

$$\displaystyle W= \frac{1}{2} \int \vec{D} \cdot \vec{E} \: dv'$$

Usando la definición de $\vec{D}=\epsilon _0 \vec{E}+ \vec{P}$ y sabiendo que podemos poner la polarización como $\vec{P}= \epsilon _0 \chi \vec{E}$ cuando el medio es lineal e isótropo, podemos desarrollar la expresión anterior

$$\displaystyle W= \frac{1}{2} \int (\epsilon _0 \vec{E}+ \vec{P} ) \cdot \vec{E} dv' = \frac{1}{2} \int \epsilon _0 E^2 dv'+ \frac{1}{2} \int \vec{P} \cdot \vec{E} dv' =$$

$\vspace{2cm}$

$$\frac{1}{2 \epsilon _0 \chi} \int P^2 dv' + \frac{1}{2} \int \vec{P} \cdot \vec{E} dv'$$

Saludos