1r ciclo Solenoide. Longitud del cable y del solenoide y número de vueltas

[SCHRODINGER27]

Buenas, tengo dudas con el siguiente problema, agradecería un poco de ayuda, pues tengo el examen pronto y la llevo regular:

Se desea construir un solenoide con una resistencia de 5 W y que produzca un campo magnético en su centro de 4 ´ 10^–2 T cuando por él circule una corriente de 4 A. El solenoide se debe construir bobinando un cable de cobre de 0.5 mm de diámetro (Dato: Resistividad del cobre ρ = 1.7 × 10^–8 Ω·m). Si el radio del solenoide debe ser de 1 cm, determinar:

a) La longitud del cable de cobre y el número de espiras (vueltas) que se necesitan.
b) La longitud que debe tener el solenoide

Para el apartado a), primero he utilizado la fórmula conocida de:

$B=\mu_0 n I$

de donde saco que el número de vueltas necesario es, por lo tanto, casi 8000. Luego con la fórmula de la resistencia:

$R=\rho \dfrac{L}{S}$

donde hallo que la longitud del cobre debe ser de 23.000 metros, aproximadamente.

Para el apartado b) he usado:

$B= \dfrac{\mu_0 n I}{L}$

Dándome una bestialidad. Obviamente, está mal, no puede ser así. Creo que me he equivocado al principio o no sé, realmente tengo dudas en todo.

Gracias por la ayuda prestada.

[Alriga]

Re: Solenoide. Longitud del cable y del solenoide y número de vueltas

a)

La sección del hilo

$S=\dfrac{\pi \ d^2}{4}=\dfrac{\pi \ 0.0005^2}{4}=\notcien{1.96}{-7} \ m^2$

La potencia disipada por la resistencia del hilo del solenoide $P=R \ I^2$ es de 5 W según el enunciado

$R=\dfrac{P}{I^2}=\dfrac{5}{4^2}=0.3125 \ \Omega$

$R=\rho \dfrac l S$

La longitud del hilo: $l=\dfrac{R \ S}{\rho}=\dfrac{0.3125 \cdot \notcien{1.96}{-7}}{\notcien{1.7}{-8}}=3.61 \ m$

Si r es el radio del solenoide y n el número de espiras

$l=2 \pi \cdot r \cdot n$

$n=\dfrac{l}{2 \pi \ r}=\dfrac{3.61}{2 \pi \ 0.01}=57.44 \ espiras$

b)

$B=\dfrac{\mu_0 \ n \ I}{L_s}$

$L_s=\dfrac{\mu_0 \ n \ I}{B}=\dfrac{4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 57.44 \cdot 4}{\notcien{4}{-2}}=0.0072 \ m=7.2 \ mm$

Sale un solenoide de 20 mm de diámetro (según enunciado) y solo 7.2 mm de longitud. Como en 7.2 mm solo caben $n=\dfrac{7.2}{0.5}=14$ espiras de hilo de 0.5 mm de diámetro, la bobina deberá tener $\dfrac{57}{14}=4$ capas de espiras

Pero por otro lado, la expresión $B=\dfrac{\mu_0 \ n \ I}{L_s}$ está deducida para bobinas de 1 capa que son mucho más largas que su diámetro. Como se ve, los números del enunciado no están muy bien puestos y lo convierten en un problema bastante absurdo si se utilizan las expresiones básicas, cosa que desafortunadamente, sucede más veces de lo que sería deseable.

Saludos

[Al2000]

Re: Solenoide. Longitud del cable y del solenoide y número de vueltas

Yo voy a asumir que hay un error en el enunciado y que donde dice "resistencia de 5 W" debe decir "resistencia de 5 $\Omega$", para llegar a un resultado razonable.

Dado el campo y la corriente, el número de vueltas por unidad de longitud queda fijado:

$$B = \mu_0 n I \quad \Rightarrow \quad n = \frac B {\mu_0 I} = 7957.75 \,\mathrm{vueltas/m}$$

Pero este valor es mucho mayor que la densidad de vueltas que se obtiene de bobinar el cable de diámetro $d=0.5\,\mathrm{mm}$:

$$\frac 1 d = 2000 \,\mathrm{vueltas/m}$$

lo que nos obliga a planear un bobinado con 4 capas. Como el enunciado sólo menciona un radio del solenoide ($r = 1\,\mathrm{cm}$), habrá que decidir si es el radio interno o el externo. Yo voy a considerar que se trata del radio interno y calculo la longitud de cable en una vuelta como

$$L_v = 2 \pi r + 2 \pi (r + d) + \cdots + 2 \pi (r + 3 d) = 2 \pi (4 r + 6 d) = 0.27\,\mathrm{m}$$

Pero la longitud total del cable ($L_c$)queda determinada por la resistencia de diseño ($R = 5 \,\Omega$):

$$R = \rho \frac {L_c} A = \rho \frac {L_c}{\frac \pi 4 d^2} \quad \Rightarrow \quad L_c = \frac {\pi d^2 R}{4 \rho} = 57.75\,\mathrm{m}$$

Por lo tanto se tendrán un total de $N$ vueltas de cable en cada capa:

$$N = \frac {L_c}{L_v} = 213.75\,\mathrm{vueltas}$$

La longitud del solenoide resultaría, si se bobina sin espacio entre vueltas consecutivas:

$$L_s = N d = 10.7\,\mathrm{cm}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Solenoide. Longitud del cable y del solenoide y número de vueltas

Yo voy a asumir que hay un error en el enunciado y que donde dice "resistencia de 5 W" debe decir "resistencia de 5 $\Omega$", para llegar a un resultado razonable.

Tambien lo pensé Al2000, mira mi mensaje original previo a las modificaciones que he ido haciendo, pero como también me salían 4 capas igual, opté por creer que lo correcto eran los 5W del enunciado y lo cambié.

Saludos Al2000

[SCHRODINGER27]

Re: Solenoide. Longitud del cable y del solenoide y número de vueltas

Gracias Alriga y Al2000, efectivamente, son $5 \Omega$, lo comprobé en otro examen que salía el mismo ejercicio. Planteo varias dudas, primero, por qué la sección de hilo:

$S=\dfrac{\pi d^2}{4}$

El 4 viene del 1/2 que sale de poner el radio, en vez del diametro, ¿no? Es decir:

$S= \pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2$

También que, en el b) se podría razonar que si son 7975 bobinas y cada bobina tiene un grosor de su diametro, multiplicarlos y hallar la longitud de solenoide. ¿Sería correcto?

Gracias a ambos de nuevo

[Alriga]

Re: Solenoide. Longitud del cable y del solenoide y número de vueltas

En efecto: $S=\pi r^2=\pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2=\pi \left(\dfrac{d^2}{2^2}\right)=\dfrac{\pi d^2}{4}$

También que, en el b) se podría razonar que si son 7957.75 espiras/m y cada espira tiene el grosor de su diámetro, multiplicarlos y hallar la longitud de solenoide. ¿Sería correcto?

NO. para conseguir B=0.04 T con I=4 A necesitas 7957.75 espiras/metro

Pero como el hilo tiene 0.5 mm de diámetro, en un metro solo te caben 2000 espiras/m Por eso decía en mi primer post que los números del ejercicio no están muy bien puestos.

Por eso es necesario hacer el bobinado en 4 capas. En 4 capas sí caben 7957.75 espiras/m pues 4x2000=8000 espiras/m

Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Solenoide. Longitud del cable y del solenoide y número de vueltas

Ya lo entiendo y lo he resuelto gracias a la ayuda prestada. Gracias!