Secundaria Gravitación Universal

[Cet22]

Ayuda con este problema:
En el ecuador de un planeta los cuerpos pesan la mitad que en los polos. La densidad media del planeta es 3000 kg/m^3. Determine la duración del día en el planeta. De su respuesta en horas. (G=6,67x10^-11)

[Al2000]

Re: Gravitación Universal

Haz un diagrama de cuerpo libre del cuerpo cuando está en el ecuador. Las fuerzas actuantes sobre el cuerpo son su peso real (atracción gravitacional, $mg$) radial hacia el centro de giro y la reacción normal del suelo (peso aparente) radial alejándose del centro. La diferencia entre estas dos fuerzas, $mg - N_\text {ecuador}$, es la fuerza centrípeta del movimiento circular, $m \omega^2 R$.

En el polo el cuerpo no está girando y por lo tanto el peso aparente es el peso real, $N_\text {polo} = mg$. Poniendo todo junto y considerando el dato que te dan, $N_\text{ecuador} = \frac 1 2 N_\text {polo}$, te queda que

$$m g - \frac 1 2 m g = m \omega ^2 R \quad \Rightarrow \quad \omega^2 R = \frac 1 2 g$$

Tomando el planeta como esférico, a falta de información en contra, la aceleración de gravedad en la superficie vale $\dst g = G \frac M {R^2}$, de manera que

$$\omega^2 R = \frac 1 2 G \frac M {R^2} \quad \Rightarrow \quad \omega ^2 = \frac 1 2 G \frac M {R^3} = \frac 1 2 G \frac {\frac {4 \pi } 3 M}{\frac {4 \pi } 3 R^3} = \frac {2 \pi } 3 G \rho$$

Saca la raíz cuadrada, determina el período y exprésalo en horas.

Revisa, que lo escribí sobre la marcha.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Cet22]

Re: Gravitación Universal

Haz un diagrama de cuerpo libre del cuerpo cuando está en el ecuador. Las fuerzas actuantes sobre el cuerpo son su peso real (atracción gravitacional, $mg$) radial hacia el centro de giro y la reacción normal del suelo (peso aparente) radial alejándose del centro. La diferencia entre estas dos fuerzas, $mg - N_\text {ecuador}$, es la fuerza centrípeta del movimiento circular, $m \omega^2 R$.

En el polo el cuerpo no está girando y por lo tanto el peso aparente es el peso real, $N_\text {polo} = mg$. Poniendo todo junto y considerando el dato que te dan, $N_\text{ecuador} = \frac 1 2 N_\text {polo}$, te queda que

$$m g - \frac 1 2 m g = m \omega ^2 R \quad \Rightarrow \quad \omega^2 R = \frac 1 2 g$$

Tomando el planeta como esférico, a falta de información en contra, la aceleración de gravedad en la superficie vale $\dst g = G \frac M {R^2}$, de manera que

$$\omega^2 R = \frac 1 2 G \frac M {R^2} \quad \Rightarrow \quad \omega ^2 = \frac 1 2 G \frac M {R^3} = \frac 1 2 G \frac {\frac {4 \pi } 3 M}{\frac {4 \pi } 3 R^3} = \frac {2 \pi } 3 G \rho$$

Saca la raíz cuadrada, determina el período y exprésalo en horas.

Revisa, que lo escribí sobre la marcha.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Gracias! Me sirvió de mucha ayuda tu planteamiento, aunque tuve que aplicar algunas cosas más, me resultó como respuesta final 1.90 horas. Saludos!