Divulgación Problema de cilindro rodante cuyo momento de inercia cambia

[inakigarber]

Supongamos que en la figura $l=0.6 m$, $L=2.0 m$, $M=0.8 Kg$ y $m=0.4Kg$. El sistema gira a una velocidad angular $\omega$, de tal modo que la tensión de la cuerda es de 108 N, justo antes de que se rompa. Determinar las velocidades angulares inicial y final, asi comolas energias inicial y final del sistema. Suponer que las paredes del cilindro carecen de rozamiento. Momento de inercia del cilindro $I_c=ML^2/10$
Algunos valores que da el problema no me coinciden. $\omega_i=30,0 rad/seg$, $\omega_2=10,5 rad/seg$, energia inicial $E_i=176 J$y energia final $E_f=61.7J$ Solo me coincide el primer valor.

Para ello procedo de la siguente manera, introduciendo valores numericos
Momento de inercia inicial;

$$I_i=\frac{0.8\cdot2^2}{10}+0.4(\frac{0.6}{2})^2=0.356$$

Momento angular

$$L_i=0.356\cdot30=10.68$$

Energia cinetica inicial

$$E_i=\frac{10.68^2}{(2\cdot0.356}=160.2J$$

Para calcular el resto de datos calculo previamente el momento de inercia final;

$$I_f=\frac{0.8\cdot2^2}{10}+0.4(\frac{2}{2})^2=0.72$$

Dado que los momentos se conservan Li=Lf y $Lf=If\omega$
Me sale un valor $\omega_f$

$$\omega_f=\frac{10.68}{0.72}=14.833$$

y Energia final;

$$E_f=\frac{10.68^2}{2\cdot0.72}=79.21 J$$

Valores que no me cuadran con el resultado del libro.

[Richard R Richard]

Re: Problema de cilindro rodante cuyo momento de inercia cambia

hola inakigarber lo que esta mal es el momento de inercia del cilindro delgado, Aunque parece que lo has puesto como dato del problema...

recuerdas el problema de este hilo

He armado este blog con los momentos de inercia mas corrientes

[felmon38]

Re: Problema de cilindro rodante cuyo momento de inercia cambia

Inaki..., la w inicial es incógnita y tú la tomas como dato ? De todas formas con el dato de la tensión de la cuerda se puede calcular esta w pero no coincide con el resultado ¿?
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Problema de cilindro rodante cuyo momento de inercia cambia

revisemos por partes

El equilibrio de fuerzas

$T-m\omega^2r=0\quad\to\quad \omega=\sqrt{\dfrac{T}{mr}}=30rad/s$


Momento de inercia si lo igualamos al dato que tiene en el enunciado

$I_c=\frac{MR^2}{2}+\frac{ML^2}{12}=\frac{ML^2}{10}=0.32 \quad\to\quad R=L\sqrt{\dfrac 1{30}}=0.365m$

$I_{dp}=2(\frac14 mR^2+m(\frac l2)^2)=\dfrac{296}{3000}$

la energia cinetica inicial

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

cantidad de movimiento

$L_i=(I_c+I_{dp})\omega=12.56$
$<br /> L_f=L_i$

luego Momento de inercia final

$I_{cf}=\frac{MR^2}{2}+\frac{ML^2}{12}=\frac{ML^2}{10}=0.32$

$I_{dpf}=2(\frac14 mR^2+m(\frac L2)^2)=\dfrac{248}{300}$

velocidad angular final
$\omega_f=\dfrac{L_i}{I_{cf}+I_{dpf}}=10.95rad/s$

energía cinetica final

$E_f=\dfrac{L^2}{2(I_{cf}+I_{dpf})}=\dfrac{(I_{cf}+I_{dpf})\omega^2}{2}=68.78 J$


No obtengo los resultados que tu dices pero he revisado y los mios creo que estan bien, a menos que la conjetura hecha para obtener el momento de inercia no sea valida.

Que opinan

[felmon38]

Re: Problema de cilindro rodante cuyo momento de inercia cambia

Inaki..., he revisado el problema y me salen ahora los resultados del libro. Creo que en el momento de inercia inicial te falta multiplicar por 2 el segundo sumando.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Problema de cilindro rodante cuyo momento de inercia cambia

Tiene razon felmon38 si toma la masa puntual y no como un disco de radio R como yo lo hice salen los resultados del libro

El equilibrio de fuerzas $T-m\omega^2r=0\quad\to\quad \omega=\sqrt{\dfrac{T}{mr}}=30rad/s$


Momento de inercia lo consideras las masas puntuales y le aplicas steiner

$I_c=\frac{ML^2}{10}=0.32$

$I_{dp}=2(m(\frac l2)^2)=\dfrac{72}{1000}$

luego la energia cinetica inicial te queda

$E_i=\dfrac{L^2}{2(I_c+I_{dp})}=\dfrac{(I_c+I_{dp})\omega^2}{2}=176.4J$

y la cantidad de movimiento

$L_i=(I_c+I_{dp})\omega=11.76$

como $L_f=L_i$

luego el Momento de inercia final de nuevo tomando las masas como puntuales

$I_{cf}=\frac{ML^2}{10}=0.32$

$I_{dpf}=2(m(\frac L2)^2)=\dfrac{8}{10}$

el calculo de la -velocidad angular final

$\omega_f=\dfrac{L_i}{I_{cf}+I_{dpf}}=10.5rad/s$

y de la energía cinetica final

$E_f=\dfrac{L^2}{2(I_{cf}+I_{dpf})}=\dfrac{(I_{cf}+I_{dpf})\omega^2}{2}=61.74 J$

[inakigarber]

Re: Problema de cilindro rodante cuyo momento de inercia cambia

Buenas noches;
Ahora si que me sale. Me equivoque en alguna parte del desarrollo. Cuando inicie el post olvide indicar que se consideran los cilindros como masas puntuales. A veces conviene dejar pasar unos días y volver a intentarlo de nuevo.
Gracias por la ayuda.