1r ciclo Hilos con carga uniforme

[The Higgs Particle]

Tenemos dos hilos conductores de longitud L dispuesto uno justo encima del otro a una distancia y. El de arriba tiene una carga total +Q, distribuida homogéneamente ($\lambda$), mientras que el hilo de debajo tiene una carga total -Q, con una distribución lineal de carga homogénea ($- \lambda$). ¿Cuál es la fuerza con la que se atraen los hilos?

He pensado en seguir este procedimiento, aunque me parece que lo estoy resolviendo mal.

1. Calcular el campo eléctrico creado en un punto P(x,y) por el hilo de arriba. Para ello he de tener en cuenta que las componentes horizontales se anulan (esto ya supone un problema, porque en los extremos esto no pasa), siendo la distancia de un diferencial $\dd x$ de la barra superior a dicho punto P r:

$r = \sqrt{x^2+y^2}$

$\dd E_y = \dd E \sin(\theta) =- K \dst \frac{\lambda \dd x}{r^2} \sin(\theta)$

donde $\theta$ es el ángulo que forma el vector $\vec r$ con la horizontal

Pero como $y = r \sin(\theta)$:

$\dd E_y = - K \dst \frac{\lambda y}{r^3} \dd x$

Integrando desde un extremo del hilo a otro:

$E_y =- \dst \int^L_0 K \dst \frac{\lambda y}{r^3} \dd x = - K \lambda \frac{L}{\sqrt{L^2+y}}$

2. Calcular la fuerza de dicho campo eléctrico sobre un diferencial $\dd q$ perteneciente a la barra inferior:

$\dd F = E_y \dd q = - E \lambda \dd x$

De forma que:

$F = K \lambda^2 \dst \left( \frac{L^2}{\sqrt{L^2+y} } \right)$

El signo positivo de la fuerza indica que tira del hilo de abajo hacia arriba, tratando de acercarla al otro hilo. Es decir, es una fuerza atractiva.

[Al2000]

Re: Hilos con carga uniforme

Mira, no quiero detenerme mucho mirando lo que hiciste porque empezaste mal con las dos primeras ecuaciones. Debes usar dos x's, una para señalar el punto en donde estás calculando el campo y otra para señalar la posición del diferencial de carga. Digamos que usas $x$ para indicar el punto en donde calculas el campo, entonces si el elemento de carga está en $x'$ tendrías que

$$r = \sqrt {(x-x')^2 + y^2}$$

$$dE_y = - K \frac {\lambda \, dx'}{r^2} \, \mathrm {sen} \, \theta$$

El campo que obtengas debe ser función de $x,y$ y lo podrás usar luego para calcular la fuerza sobre cada elemento de carga en esa posición del otro filamento.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[The Higgs Particle]

Re: Hilos con carga uniforme

Mira, no quiero detenerme mucho mirando lo que hiciste porque empezaste mal con las dos primeras ecuaciones. Debes usar dos x's, una para señalar el punto en donde estás calculando el campo y otra para señalar la posición del diferencial de carga

Totalmente cierto, eso me pasa por no dibujarme los ejes.

Pero dos cosas:
1. ¿La idea de fondo es correcta, aunque en los extremos del hilo inferior no se anulen las componentes horizontales?
2. Una vez que tenemos el campo eléctrico - bien hecho -, ¿hacer $\dd F = E_y (-\lambda \dd x)$ y luego integrar es correcto para hallar la fuerza total?

[Al2000]

Re: Hilos con carga uniforme

1. Yo no me preocuparía por la componente horizontal, porque la simetría nos dice que la resultante horizontal debe ser nula.

2. La fuerza es en efecto $F = \int E_y\,dq = \lambda \int E_y\,dx$. Respecto al signo... como no has hecho ningún esquema que muestre las direcciones de los vectores no puedo decir si el signo es correcto o no lo es. Lo que sabemos es que ambos hilos se atraerán; el signo de la fuerza dependerá de tu sistema de referencia.

Saludos,

$\mathcal A \ell$