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Hilo: Demostración energía independiente del tiempo

  1. #1
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    Predeterminado Demostración energía independiente del tiempo

    Hola amigos, alguien me puede ayudar a demostrar esto? Gracias
    Sea x(t) una partícula siguiendo una trayectoria bajo la acción de un campo de fuerzas F(x) que provienen de un potencial φ(x), es decir, F=φF=−∇φ
    Demuestra que la Ley de Newton F=mx′′F=mx″ implica que la función escalar E=12m(x)2+φ(x)E=12m(x′)2+φ(x) no depende del tiempo

  2. #2
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    Predeterminado Re: Demostración energía independiente del tiempo

    Buenas,

    Una pequeña recomendación, escribe las fórmulas en LaTeX, es mucho más cómodo de leer.

    Supongo que cuando escribías esto
    E=12m(x′)2+φ(x)
    querías poner: E=\frac{1}{2}m \dot{x}^2 +\varphi (x), si no, no le encuentro sentido.

    (Por cierto, añado la notación del punto encima de la variable como indicativo de derivada temporal)

    Para fuerzas provenientes de un potencial y en una dimensión, la fórmula puede escribirse como: m\ddot{x}+\frac{d \varphi}{dx}=0

    Si derivas la energía con respecto al tiempo y la igualas a 0, se puede ver que ambas expresiones son iguales.

    Un saludo
    Última edición por Lorentz; 15/04/2017 a las 16:20:53. Razón: Corrección de una imprecisión
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  3. #3
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    Predeterminado Re: Demostración energía independiente del tiempo

    Gracias Lorentz pero sería derivar respecto a x no? De dónde sacas esa nueva expresión para la ley de Newton?

  4. #4
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    Predeterminado Re: Demostración energía independiente del tiempo

    De dónde sacas esa nueva expresión para la ley de Newton?

    Lo que he hecho ha sido igualar las dos expresiones de la fuerza, la correspondiente al gradiente que en este caso puede escribirse como F=-\frac{d\varphi}{dx} y la de F=m\ddot{x}
    Gracias Lorentz pero sería derivar respecto a x no?
    No, es con respecto a t (ya que quieres demostrar la independencia de esa expresión con respecto a dicha variable) lo que pasa es que tienes que aplicar la regla de la cadena al derivar el potencial:

    \frac{dE}{dt}=m\dot{x}\ddot{x}+\frac{d\varphi}{dx} \dot{x}=0

    Con lo cuál divides en ambas partes por \dot{x} y obtienes el resultado

    Un saludo
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  5. #5
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    Predeterminado Re: Demostración energía independiente del tiempo

    Perfecto, lo he entendido. Muchísimas gracias!

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