2o ciclo Área de cuña cilíndrica

[Violetta]

Una cuña es cortada de un cilindro circular recto de radio 4 cm, mediante dos planos.Uno de los planos es perpendicular al ejedel cilindro. El otro plano interseca al primer plano con un angulo de 30° a lo largo de un diámetro del cilindro. Encontrar el área de cada una de las tres caras de la cuña.



El área donde interesca con el plano supongo que es la proyección del área de la base, entonces sería igual a $\dst\frac{{A}_{b}}{\cos\frac{\pi}{6} }$

Pero se me hace difícil encontrar el área lateral. He estado estudiando área de superficies paramétricas, pero debería plantear una integral doble sobre la región D del plano s-t que serían los parámetros de la ecuación del cilindro. ¿cómo encuentro esa región D? ¿hay una forma más sencilla? (la ecuación cartesiana del plano que intersecta con el eje x es $\sqrt{3}y-z=0$ )
También se me ocurrió calcular el área lateral con una integral de línea (nunca hice esto, ni sé si se puede, solo se me ocurrió), ¿se podrá?

[Al2000]

Re: Área de cuña cilíndrica

El área de un "cuadrito" en la superficie cilíndrica vale $dA = (R\,d \theta )(dz)$ y creo que el área de la sección sería entonces

$$A = 2 \int_{0}^{\pi/2}\!\! \int_{0}^{(2 R \tan \alpha /\pi ) \theta }\!\! R\,dz\, d \theta$$

donde $\theta$ es el ángulo con el eje X como es usual y $\dst (R \tan \alpha) \left(\frac \theta {\pi/2}\right)$ es la altura $z$ a la cual el plano corta al cilindro.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. Se me ocurrió después de haber enviado la respuesta (buscando alguna forma de comprobar el resultado) que si cortas la superficie y la aplanas, obtienes dos triángulos de base $\frac \pi 2 R$ y altura $R \tan \alpha$