1r ciclo Momento de inercia de esfera hueca

[franco_c2]

Hola, quiero saber cuál es mi error en mi razonamiento para calcular el momento de inercia de una esfera hueca (de densidad uniforme) respecto a un eje que pasa por su centro.

He calculado antes el momento de inercia de una esfera sólida, usando el diferencial $\dd V=\pi*{r}^{2}\dd x$ o sea usando discos.

Me copio de éste método, pero en vez de discos uso "bandas" circulares (o cilindros huecos sin bases), cada banda tiene área $\dd A=2\pi\sqrt{{R}^{2}-{x}^{2}}\dd x$

El integrando quedaría ${x}^{2}k2\pi\sqrt{{R}^{2}-{x}^{2}}\dd x$ donde $k=\dst\frac{M}{A}$

Obviamente me arroja un resultado erróneo, ¿qué hago mal?

[arivasm]

Re: Momento de inercia de esfera hueca

En primer lugar, no consigo ver cómo es posible construir con relativa comodidad una esfera hueca con las áreas laterales de un cilindro. Así, habrá partes de la esfera que requieran uno solo de esos cilindros (para radio del cilindro mayor o igual que los del hueco) y otras que requieran dos (radio del cilindro menor que el del hueco de la esfera).

De todos modos, visto lo que pones, está claro que tampoco se trata de lo que he dicho antes, pues escribes un diferencial de área. Yendo a éste, ¿a qué llamas x? Quizá una figura, y algo más de redacción, posibilite el que se te pueda ayudar.

[Alriga]

Re: Momento de inercia de esfera hueca

Creo que estás siendo víctima de la paradoja de que el límite de la longitud de la función escalonada cuando los escalones tienden a cero no converge a la longitud de la rampa.
Mira la respuesta que di aquí a un tema similar: Sobre la demostración del area de una esfera

Saludos.

[franco_c2]

Re: Momento de inercia de esfera hueca

Gracias! Ese hilo me sacó la duda. El área de los discos no converge al área de la esfera, pero su volumen sí lo hace !Lo que me parece bastante curioso! Voy a investigar más sobre esas paradojas, saludos.

[Take It Easy]

Re: Momento de inercia de esfera hueca

Extraido de un libro:
"La razón es algo sutil. Para espesores pequeños $\Delta x$, el volumen de una rodaja del sólido de revolución sólo es $\pi y^2\Delta x$ de una forma aproximada, pero el error es pequeño comparado con el volumen de esta rodaja. Por otra parte, si se utilizara $2\pi y \Delta x$ como una aproximación al área de una banda delgada de la superficie de resolución correspondiente a un intervalo situado en x de anchura $\Delta x$, el error no sería pequeño comparado con el área de esa banda."

[carmelo]

Re: Momento de inercia de esfera hueca

Hola.

Puedes calcularlo del siguiente modo:

1) Calcula el momento de inercia de un cascaron con radio interno r y radio externo R, suponiendo conocido el momento de inercia de una esfera.
2) Toma el límite cuando el radio interno tiende al radio externo.

Saludos
Carmelo