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Hilo: Aceleracion variable - problema

  1. #1
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    Exclamation Aceleracion variable - problema

    Hola, soy nuevo en el foro y recurrí al mismo porque no logro resolver un problema, estoy iniciando mis estudios de física en la universidad online Bircham.

    Me enviaron el libro de física para la ciencia y la tecnología de Tipler y Mosca Volumen 1, en el mismo hay un ejercicio que no logro resolver.

    El problema es el siguiente: Una piedra se hunde en el agua con un aceleración que decrece con el tiempo según {a}_{ y} = g - b{v}_{y'} donde b es una constante positiva (la dirección +y eta dirigida hacia abajo). Demostrar matemáticamente que si la roca empieza a hundirse cuando t=0, la aceleración dependerá del tiempo exponencialmente de acuerdo con {a}_{y}(t) = g{e}^{-bt}

    Si alguien me puede dar una pista por donde encararlo lo agradecere enormemente.

    Saludos

  2. #2
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    Predeterminado Re: Aceleracion variable - problema

    Una primera salida, nada elegante, consiste en sustituir directamente, de manera que como g\ee^{-bt}=g-bv_y, tenemos que v_y=\dfrac{g}{b}(1-\ee^{-bt}). Al derivar respecto del tiempo ciertamente tenemos que a_y(t)=g\ee^{-bt}

    Más elegante es hacer uso de que si a_y=g-bv_y entonces tenemos la ecuación diferencial \dfrac{\dd v_y}{\dd t}=g-bv_y, luego \dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=\int_0^t\dd t=t. Haz la integral, despeja v_y(t) (deberás encontrar lo escrito anteriormente, v_y=\dfrac{g}{b}(1-\ee^{-bt})) y deriva para obtener la dependencia temporal de la aceleración.
    A mi amigo, a quien todo debo.

  3. El siguiente usuario da las gracias a arivasm por este mensaje tan útil:

    rmbriend (26/04/2018)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Aceleracion variable - problema

    Cita Escrito por arivasm Ver mensaje
    Una primera salida, nada elegante, consiste en sustituir directamente, de manera que como g\ee^{-bt}=g-bv_y, tenemos que v_y=\dfrac{g}{b}(1-\ee^{-bt}). Al derivar respecto del tiempo ciertamente tenemos que a_y(t)=g\ee^{-bt}

    Más elegante es hacer uso de que si a_y=g-bv_y entonces tenemos la ecuación diferencial \dfrac{\dd v_y}{\dd t}=g-bv_y, luego \dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=\int_0^t\dd t=t. Haz la integral, despeja v_y(t) (deberás encontrar lo escrito anteriormente, v_y=\dfrac{g}{b}(1-\ee^{-bt})) y deriva para obtener la dependencia temporal de la aceleración.
    Muchas gracias! la forma poco elegante la comprendo perfectamente, la elegante se me escapa cuando igualas las integrales entre si a t, pero seguire analizando tu respuesta hasta que la comprenda! gracias nuevamente.

  5. #4
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    Predeterminado Re: Aceleracion variable - problema

    Hola rmbriend, bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

    Cita Escrito por rmbriend Ver mensaje
    se me escapa cuando igualas las integrales entre si a t ...
    Es integrar la función f(t)=1 con límites de integración "0" y "t"

    \dst \int_0^t\dd t=\int_0^t 1 \cdot \dd t=\Big [t \Big]_0^t=t-0=t

    La otra integral sale:

    \dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \Big [\ln(g-b v_y)\Big ]_0^{v_y}=

    =-\dfrac 1 b \Big (\ln(g-b v_y)-\ln g \Big )=\dfrac 1 b \ln \Big (\dfrac b g v_y - 1 \Big )

    Iguala las dos expresiones.

    \dfrac 1 b \ln \Big (\dfrac b g v_y - 1 \Big )=t

    Y despeja v_y

    Después, derivándola obtendrás a_y

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 26/04/2018 a las 16:30:00. Razón: Mejorar información

  6. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    rmbriend (26/04/2018)

  7. #5
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    Predeterminado Re: Aceleracion variable - problema

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    Hola rmbriend, bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva



    Es integrar la función f(t)=1 con límites de integración "0" y "t"

    \dst \int_0^t\dd t=\int_0^t 1 \cdot \dd t=\Big [t \Big]_0^t=t-0=t

    La otra integral sale:

    \dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \Big [\ln(g-b v_y)\Big ]_0^{v_y}=

    =-\dfrac 1 b \Big (\ln(g-b v_y)-\ln g \Big )=\dfrac 1 b \ln \Big (\dfrac b g v_y - 1 \Big )

    Iguala las dos expresiones.

    \dfrac 1 b \ln \Big (\dfrac b g v_y - 1 \Big )=t

    Y despeja v_y

    Después, derivándola obtendrás a_y

    Saludos.

    Consulta, en el paso \dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \Big [\ln(g-b v_y)\Big ]_0^{v_y}=

    Integras por sustitucion previo multiplicar por \frac{b}{b} para lograr la forma \frac{dx}{x} integrable como ln |x| multiplicado por d{v}_{y } ergo ejecutando la integral definida entre {v}_{y} y 0? entendi bien?

    Muchas gracias

  8. #6
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    Predeterminado Re: Aceleracion variable - problema

    Cita Escrito por rmbriend Ver mensaje
    Consulta, en el paso \dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \Big [\ln(g-b v_y)\Big ]_0^{v_y}
    Hago el cambio de variable

    u=g-b \ v_y

    du=-b \ dv_y

    Sustituyendo

    \dst\int \dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \int \dfrac{du}u=-\dfrac 1 b \ln u

    Deshaciendo el cambio

    \dst\int \dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \ln (g-b v_y)

    Y ahora se aplica la Regla de Barrow, con límites de integración "0" y "v_y"

    \dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \Big [\ln(g-b v_y)\Big ]_0^{v_y}

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 28/04/2018 a las 10:41:23.

  9. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    rmbriend (15/05/2018)

  10. #7
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    Predeterminado Re: Aceleracion variable - problema

    Debido a que la aceleración de la piedra es una función del tiempo, no es constante. Elija un sistema de coordenadas en el que hacia abajo sea positivo y el origen en el punto de liberación de la roca.

    Separe las variables en a(t)=dv/dt=ge^{-bt} para obtener:

     dv = ge^{-bt}

    Integrar de  t_0 = 0,  v_0=0 a un momento posterior  t y velocidad  v :

     v=\int_0^v dv'=\int_0^t ge^{-bt'}dt'=\dfrac{g}{-b}\left[ e^{-bt'}\right]_0^t=\dfrac{g}{b}\left( ...

    Saludos

  11. El siguiente usuario da las gracias a Guillem_dlc por este mensaje tan útil:

    rmbriend (15/05/2018)

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