Resultados 1 al 6 de 6

Hilo: Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

  1. #1
    Registro
    Apr 2011
    Ubicación
    Madrid
    Posts
    469
    Nivel
    Grado en Física
    Artículos de blog
    4
    ¡Gracias!
    27 (27 msgs.)

    Question Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

    Hola Físicxs! Tengo el siguiente problema que no sé muy bien como abordar. Si alguien me puede ayudar se lo agradecería mucho.
    La solución de Schwarzschild para un Agujero Negro en un espacio con métrica Euclidiana es:

    ds^2=\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)d\tau ^2+\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)^{-1}dr^2+r^2(d\theta ^2+\sin ^2 (\...

    con una singularidad aparente en r=0. Demuestra que, tomando \tau como una coordenada angular, la singularidad no es física sino de coordenadas, y encuentra el periodo de \tau que hace que sea posible.

    (Pista: considera expandir las funciones métricas alrededor de r=2m)

    Muchísimas gracias por ayudarme!
    Última edición por Pepealej; 05/08/2018 a las 11:53:30.

  2. #2
    Registro
    Aug 2013
    Ubicación
    Madrid
    Posts
    228
    Nivel
    Segundo ciclo Física
    ¡Gracias!
    83 (65 msgs.)

    Predeterminado Re: Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

    Buenos días,

    Sólo tienes que comprobar que el escalar de Kretschmann no diverge cuando r=2m.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Curvat...pal_invariants

    Ninguno de los invariantes de curvatura diverge en ese punto (hay alguno más pero el principal es el que he mencionado).

    Un saludo

    PD1: Sí es singularidad física en r=0, pero en r=2m es sólo aparente.

    PD2: Comprobando el Carroll, el escalar toma la forma (tomando G=1):

    \dst R^{\mu \nu \rho \sigma}R_{\mu \nu \rho \sigma}=\frac{48m^2}{r^6}

    Así puedes ver que en efecto lo que he mencionado en la PD1 es cierto, pues diverge para r=0 mientras que no lo hace para r=2m.
    Última edición por Lorentz; 04/08/2018 a las 11:38:39. Razón: Añadir posdata
    "An expert is a person who has made all the mistakes that can be made in a very narrow field."

    "When one teaches, two learn."

     d \star \mathbf{F}={^\star}\mathbf{J}

  3. 2 usuarios dan las gracias a Lorentz por este mensaje tan útil:

    Pepealej (04/08/2018),Richard R Richard (04/08/2018)

  4. #3
    Registro
    Apr 2011
    Ubicación
    Madrid
    Posts
    469
    Nivel
    Grado en Física
    Artículos de blog
    4
    ¡Gracias!
    27 (27 msgs.)

    Predeterminado Re: Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

    Hola Lorentz, gracias por tu respuesta. Aun así no me está quedando muy claro (no he dado un curso tan a fondo sobre Relatividad General). Y, de la forma en la que propones que lo haga, no estoy siguiendo el procedimiendo que me indican en el problema "Demuestra que, tomando \tau como una coordenada angular, la singularidad no es física sino de coordenadas, y encuentra el periodo de que hace que sea posible (Pista: considera expandir las funciones métricas alrededor de r=2m)"

    ¿Podrías echarme una mano en esa dirección? Muchísimas gracias!!!


  5. #4
    Registro
    Aug 2013
    Ubicación
    Madrid
    Posts
    228
    Nivel
    Segundo ciclo Física
    ¡Gracias!
    83 (65 msgs.)

    Predeterminado Re: Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

    Claro,

    Para calcular el cambio de coordenadas en primer lugar tienes que calcular las null geodesics en el plano rt (te pongo la solución para que la compruebes):

    \dst u^0=\frac{k}{1-\frac{2m}{r}}

    (k es una constante)

    Luego observas el elemento de línea y queda:

    u^1=\pm k

    Tomando el cociente obtienes:

    \dst \frac{dr}{dt}=\frac{u^1}{u^0}=\pm \left(\frac{1}{1-\frac{2m}{r}}\right)

    Integrando tienes:

    \dst \pm t=r+2m log \left(r-2m\right)

    (Estoy obviando la cte de integración porque luego no importa, cuando definamos a continuación las null coordinates)

    Null coordinates:

    \dst u=t+r+2m log \left(r-2m\right)

    \dst u=t-r-2m log \left(r-2m\right)

    Imagino que desarrollarlo alrededor de r=2m será esto.

    Estas coordenadas se caracterizan porque cuando u es cte nos da una ingoing null geodesic y cuando v es cte nos da una outgoing null geodesic.

    Lo pones en forma diferencial y lo metes en el elemento de línea:

    \dst ds^2=-\left(1-\frac{2m}{r}\right)dudv+r^2 d\Omega^2

    Tras haber hecho esto puedes hacer el cambio de coordenadas:

    \dst U=e^\frac{u}{4m}

    \dst V=e^\frac{-v}{4m}

    Y escribes el elemento de línea tal que:

    \dst ds^2=\frac{16m^2}{r}e^\frac{-r}{2m}dUdV+r^2d\Omega^2

    Como puedes ver al haber hecho este cambio se ve que la singularidad en r=2m sólo venía por una mala elección de coordenadas. Este punto es al que se le llama el horizonte de eventos.

    ACTUALIZACIÓN

    Revisando lo que había escrito sobre el cálculo del período, me he dado cuenta de que lo que había calculado era el tiempo que tardaba una partícula en caer a la singularidad en r=0 no el período que hacía posible que no fuera una singularidad física. No tengo muy claro cómo abordar lo del período, así que perdona pero en ese apartado no puedo ayudar.

    Un saludo
    Última edición por Lorentz; 05/08/2018 a las 10:40:36. Razón: RECTIFICAR
    "An expert is a person who has made all the mistakes that can be made in a very narrow field."

    "When one teaches, two learn."

     d \star \mathbf{F}={^\star}\mathbf{J}

  6. El siguiente usuario da las gracias a Lorentz por este mensaje tan útil:

    Pepealej (05/08/2018)

  7. #5
    Registro
    Apr 2011
    Ubicación
    Madrid
    Posts
    469
    Nivel
    Grado en Física
    Artículos de blog
    4
    ¡Gracias!
    27 (27 msgs.)

    Predeterminado Re: Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

    Cita Escrito por Lorentz Ver mensaje
    Para calcular el cambio de coordenadas en primer lugar tienes que calcular las null geodesics en el plano rt (te pongo la solución para que la compruebes):

    \dst u^0=\frac{k}{1-\frac{2m}{r}}

    (k es una constante)

    Luego observas el elemento de línea y queda:

    u^1=\pm k

    Tomando el cociente obtienes:

    \dst \frac{dr}{dt}=\frac{u^1}{u^0}=\pm \left(\frac{1}{1-\frac{2m}{r}}\right)
    Hola Lorentz! Muchas gracias por tu respuesta. La estoy usando de guía para ir resolviendo el problema, pero me he atascado en el primer paso. ¿Me podrías echar una mano?

    He hecho lo que siempre suelo hacer para calcular geodésicas, que es obtener el Lagrangiano y luego resolver las ecuaciones de Euler-Lagrange. En este caso he escrito el elemento de línea como:

    ds^2=-\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)c^2dt^2+\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)^{-1}dr^2+r^2(d\theta ^2+\sin ^2 (\...

    Y he calculado el Lagrangiano al cuadrado:

    \mathcal{L}^2=\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)c^2\dot{t}^2+\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)^{-1}\dot{r}^2+r^2(\do...

    donde \dot{ } denota derivada con respecto al tiempo propio d/d\tau, y luego he calculado las ecuaciones de Euler-Lagrange, pero no llego a tu resultado.

    Me da que algo estoy haciendo mal...

    Gracias!!!

    - - - Actualizado - - -

    Cita Escrito por Lorentz Ver mensaje
    ACTUALIZACIÓN

    Revisando lo que había escrito sobre el cálculo del período, me he dado cuenta de que lo que había calculado era el tiempo que tardaba una partícula en caer a la singularidad en r=0 no el período que hacía posible que no fuera una singularidad física. No tengo muy claro cómo abordar lo del período, así que perdona pero en ese apartado no puedo ayudar.
    Ohh! Entonces puede que me puedas ayudar con otro problema que tengo que es precisamente eso, calcular el tiempo que transcurre para un observador que cae en un agujero negro hasta la singularidad! Lo postearé en otro hilo y te lo pasaré. Infinitas gracias!

    ------ ACTUALIZACIÓN -------

    He conseguido resolver el problema (más o menos)!!! Tampoco he hecho el cambio de variable a coordenadas angulares ni he encontrado ningún periodo, pero he probado que la singularidad no es física.

    ----- COMENTARIO ---------

    El hilo que te comentaba con el problema de cuánto tiempo transcurre para un observador que cae en un agujero negro hasta r=0 es el siguiente:

    http://forum.lawebdefisica.com/threa...Negro?p=185535

    Muchísimas gracias por ayudarme!
    Última edición por Pepealej; 05/08/2018 a las 18:19:12.

  8. #6
    Registro
    Aug 2013
    Ubicación
    Madrid
    Posts
    228
    Nivel
    Segundo ciclo Física
    ¡Gracias!
    83 (65 msgs.)

    Predeterminado Re: Singularidad de coordenadas en Agujero Negro

    Cita Escrito por Pepealej
    He conseguido resolver el problema (más o menos)!!! Tampoco he hecho el cambio de variable a coordenadas angulares ni he encontrado ningún periodo, pero he probado que la singularidad no es física.
    Me alegro, realmente lo que te pedía era lo del período y probar que no es física, hacer el cambio de coordenadas es opcional.

    Un saludo
    "An expert is a person who has made all the mistakes that can be made in a very narrow field."

    "When one teaches, two learn."

     d \star \mathbf{F}={^\star}\mathbf{J}

Información del hilo

Usuarios viendo este hilo

Ahora hay 1 usuarios viendo este hilo. (0 miembros y 1 visitantes)

Hilos similares

  1. Secundaria Agujero negro
    Por alejandrito29 en foro Relatividad y cosmología
    Respuestas: 1
    Último mensaje: 08/05/2018, 08:57:46
  2. Divulgación Agujero negro y singularidad
    Por Verne en foro Relatividad y cosmología
    Respuestas: 5
    Último mensaje: 20/06/2016, 23:13:23
  3. Divulgación Agujero Blanco V/s Agujero Negro
    Por Evil_Ultralisco en foro Física avanzada
    Respuestas: 8
    Último mensaje: 22/10/2010, 00:22:17
  4. Divulgación que diferencia hay entre un agujero de gusano y un agujero negro?
    Por Chacaritamanda en foro Relatividad y cosmología
    Respuestas: 7
    Último mensaje: 05/06/2010, 20:49:25

Permisos de publicación

  • No puedes crear hilos
  • No puedes responder
  • No puedes adjuntar archivos
  • No puedes editar tus mensajes
  •