Resultados 1 al 6 de 6

Hilo: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

  1. #1
    Registro
    Dec 2017
    Posts
    8
    Nivel
    Secundaria
    ¡Gracias!
    1 gracias

    Predeterminado ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

    . . . . .x³
    ∫ ---------- dx = ? , tal_que x < 1
    .√ (1 – x² )

    Me da

    . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .3
    ------- • cos [ 3 (arc sin x) ] — ----- • cos (arc sin x) + C , tal_que x < 1
    . 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

    ¿Cómo hago para expresar este resultado con raíces cuadradas en vez de con arcos?
    Lo que más me interesa es cómo aclararme con el doble signo ±, ya que, a priori, cos (arc sin x) = ±√ (1 – x²); ¿qué signo deberé elegir?
    Última edición por siempreagradezco; 14/09/2018 a las 07:25:51.

  2. #2
    Registro
    Jun 2015
    Ubicación
    Reus
    Posts
    3 467
    Nivel
    Universidad (Ingeniería)
    Artículos de blog
    5
    ¡Gracias!
    3 039 (2 077 msgs.)

    Predeterminado Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

    1) Creo que te has liado al resolver la integral, es más fácil que lo que a tí te sale:

    \displaystyle \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx

    Hacemos el cambio de variable:

    u=\sqrt{1-x^2}

    x^2=1-u^2

    Derivando: 2x \ dx=-2 u \ du

    x \ dx=-u \ du

    Multiplicando (1) x (2):

    x^3 dx=-u (1-u^2) du=(-u + u^3) du

    Sustituyendo

    \displaystyle \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx=-\int du + \int u^2 du

    Solo queda hacer estas dos integrales inmediatas y deshacer el cambio de variable

    \displaystyle \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx=-\sqrt{1-x^2}+\dfrac 1 3 (1-x^2)^{3/2}+K

    \displaystyle \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx=-\dfrac 1 3 (x^2+2) \sqrt{1-x^2}+K

    2) En cuanto a la pregunta de trigonometría. Si llamamos y=\cos(\arcsin x)

    y^2=\cos^2(\arcsin x)=1-\sin^2 \arcsin x=1- (\sin \arcsin x)^2=1-x^2

    y=\boxed{\boldsymbol{\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}}}

    Una argumentación análoga permite también demostrar que \boxed{\boldsymbol{\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}}}

    Recuerda que para facilitar la inserción de expresiones matemáticas en el Foro, hay un compilador de LaTeX. El LaTeX es muy fácil, se aprende en media hora, mira este tutorial Cómo introducir ecuaciones en los mensajes y aquí puedes practicar tus fórmulas Prueba y ejemplos de LaTeX. Recuerda también, que haciendo doble click en las fórmulas del foro puedes ver como está escritas en LaTeX

    Saludos.

    PD. Si para intentar resolver la integral has hecho el cambio x=\sin u no se obtiene lo que tú has escrito, (te has debido equivocar en las operaciones), lo que se obtiene es:

    \displaystyle \int \sin^3 u \ du=-\cos \arcsin x+\dfrac 1 3 (\cos \arcsin x)^3
    Última edición por Alriga; 17/09/2018 a las 14:04:51. Razón: LaTeX
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch!"

  3. 2 usuarios dan las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    Maq77 (17/09/2018),siempreagradezco (15/09/2018)

  4. #3
    Registro
    Dec 2017
    Posts
    8
    Nivel
    Secundaria
    ¡Gracias!
    1 gracias

    Predeterminado Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    Si llamamos y=\cos(\arcsin x)

    y^2=\cos^2(\arcsin x)=1-\sin^2 \arcsin x=1- (\sin \arcsin x)^2=1-x^2

    y=\boxed{\boldsymbol{\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}}}
    De acuerdo, pero ¿por qué no, por ejemplo y=\boxed{\boldsymbol{\cos(\arcsin x)= -\sqrt{1-x^2}}} ?

    - - - Actualizado - - -

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    PD. Si para intentar resolver la integral has hecho el cambio x=\sin u no se obtiene lo que tú has escrito, (te has debido equivocar en las operaciones), lo que se obtiene es:

    \displaystyle \int \sin^3 u \ du=-\cos \arcsin x+\dfrac 1 3 (\cos \arcsin x)^3
    Para intentar resolver la integral hice el cambio x=\sin  u, lo que se obtiene es:

    \displaystyle \int \sin^3 u \ du
    Ahora bien, existe esta identidad trigonométrica:
    sin^3 x = (3/4)sinx - (1/4)sin(3x)
    La obtuve linealizando con Euler.
    Por consiguiente:
    \displaystyle \int \sin^3 u \ du = \displaystyle \int \((3/4)sinu - (1/4)sin(3u)  \ du = (1/12) c...
    Tras deshacer se obtiene lo que dije.

  5. El siguiente usuario da las gracias a siempreagradezco por este mensaje tan útil:

    Alriga (17/09/2018)

  6. #4
    Registro
    Jun 2015
    Ubicación
    Reus
    Posts
    3 467
    Nivel
    Universidad (Ingeniería)
    Artículos de blog
    5
    ¡Gracias!
    3 039 (2 077 msgs.)

    Predeterminado Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

    Tienes razón, rigurosamente

    \cos (\arcsin x) = \pm \sqrt{1-x^2}

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    ... Si para intentar resolver la integral has hecho el cambio x=\sin u no se obtiene lo que tú has escrito, (te has debido equivocar en las operaciones) ...
    Vuelves a tener razón, la expresión

    (1/12) \cos(3u) - (3/4) \cos u + K

    Que conduce a

    (1/12) \cos(3\arcsin x) - (3/4) \cos \arcsin x + K

    Es correcta, solo que no es de tan fácil simplificación. Supongo que para simplificar habría que volver a aplicar la igualdad:

    \cos^3 u=\dfrac 3 4 \cos u + \dfrac 1 4 \cos 3 u

    Despejando:

    \cos 3 u = 4 ( \cos^3 u-\dfrac 3 4 \cos u)

    Y ahora sustituir en (1), deshacer el cambio, y aplicar que

    \cos (\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}

    Saludos.
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch!"

  7. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    siempreagradezco (18/09/2018)

  8. #5
    Registro
    Nov 2011
    Ubicación
    Barcelona
    Posts
    1 756
    Nivel
    Universidad (Matemáticas)
    Artículos de blog
    6
    ¡Gracias!
    926 (808 msgs.)

    Predeterminado Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

    Hola a los dos.

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    Tienes razón, rigurosamente

    \cos (\arcsin x) = \pm \sqrt{1-x^2}
    Si escoges los dos signos entonces tienes algo que no es una función pues hay reales con dos imagenes a la vez. Pasa lo mismo que con la raíz cuadrada normal y corriente: \pm \sqrt{x} no es una función pero +\sqrt{x} y - \sqrt{x} sí lo son. Igual sucede con \pm \sqrt{1-x^2}. Además la igualdad \cos (\arcsin x) = \pm \sqrt{1-x^2} es incorrecta no solo por esto sino también por el motivo por el cual con el signo menos también es incorrecta:

    Cita Escrito por siempreagradezco Ver mensaje
    De acuerdo, pero ¿por qué no, por ejemplo y=\boxed{\boldsymbol{\cos(\arcsin x)= -\sqrt{1-x^2}}} ?
    Es un tema de dominios e imagenes. Primero se aplica la función arcoseno así que voy a llamar y= \arcsin x para no liarnos. Queremos calcular \cos(y). La clave del asunto está en que como y \in \left[ -\pi/2, \pi/2\right] entonces \cos(y)\geqslant 0 de forma que el único signo posible es el +, es decir, la igualdad correcta es:

    \cos(\arcsin x)= +\sqrt{1-x^2}}

    La explicación es corta pero recomiendo ver estas gráficas para entenderlo mejor:

    Gráfica arcoseno
    Gráfica coseno
    Gráfica del coseno del arcoseno
    Gráfica raíz +
    Gráfica raíz -

    ¡Saludos!
    Última edición por Weip; 17/09/2018 a las 09:55:37.
    \dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{S}=\dst\frac{Q}{\epsilon_0}

  9. 3 usuarios dan las gracias a Weip por este mensaje tan útil:

    Alriga (17/09/2018),Maq77 (17/09/2018),siempreagradezco (18/09/2018)

  10. #6
    Registro
    Jun 2015
    Ubicación
    Reus
    Posts
    3 467
    Nivel
    Universidad (Ingeniería)
    Artículos de blog
    5
    ¡Gracias!
    3 039 (2 077 msgs.)

    Predeterminado Re: ¿Cómo convertir los arcos en raíces cuadradas en las respuestas de integrales?

    Cita Escrito por Weip Ver mensaje
    ... Si escoges los dos signos entonces tienes algo que no es una función pues hay reales con dos imagenes a la vez ... Es un tema de dominios e imagenes ...
    Gracias por el aporte Weip, de acuerdo, entiendo que en efecto es un tema de dominios, tú has elegido  y \in [ -\pi/2, \ \pi/2] para obligar a que el arcoseno sea función, pero si eliges  y \in [ 0, \ 2\pi ] entonces cualquier x excepto \pm 1 tiene dos arcosenos en el sentido trigonométrico, aunque no en el sentido “función”

    Dicho de otro modo, si a mí me preguntan a qué ángulo físico le corresponde un seno de 0.2 responderé que puede corresponder a un ángulo de 0.201358 rad o a uno de 2.940235 rad. No responderé:

    solo corresponde a un ángulo de 0.201358 rad porque si no, el arcoseno no sería función

    Y si ahora me piden el coseno de cada uno de esos dos ángulos, para el primero obtengo 0.979796 y para el segundo -0.979796

    x 0,2 0,2
    y=\arcsin x 0,201358 2,940235
    z=\cos \arcsin x 0,979796 -0,979796
    z=\pm\sqrt{1-x^2} 0,979796 -0,979796

    Por lo tanto, entiendo que una respuesta correcta en sentido físico a

    z=\cos \arcsin x

    Es

    z=\pm \sqrt{1-x^2}

    Sin embargo, te doy la razón en que, como en este ejercicio pide una integral, ha de ser la integral de una función y entonces la única respuesta correcta al ejercicio es:

    \displaystyle \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx=-\dfrac 1 3\sqrt{1-x^2} \ (x^2+2)+K

    El doble signo +/- no es una respuesta correcta a este ejercicio:

    \displaystyle \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}} dx \neq \pm \dfrac 1 3\sqrt{1-x^2} \ (x^2+2)+K

    Como es fácil de comprobar, escogiendo el signo (+) de delante de la raiz y derivando.

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 17/09/2018 a las 14:18:48. Razón: Mejorar explicación
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch!"

  11. 2 usuarios dan las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    Maq77 (17/09/2018),siempreagradezco (18/09/2018)

Información del hilo

Usuarios viendo este hilo

Ahora hay 1 usuarios viendo este hilo. (0 miembros y 1 visitantes)

Hilos similares

  1. 1r ciclo ¿Solo las matrices cuadradas pueden ser invertibles?
    Por Malevolex en foro Vectores, álgebra lineal y geometría
    Respuestas: 3
    Último mensaje: 30/10/2017, 23:00:44
  2. Secundaria problema millas cuadradas
    Por Jorge 2014 en foro Unidades y análisis dimensional
    Respuestas: 1
    Último mensaje: 08/11/2015, 20:54:17
  3. 1r ciclo Ideal bilátero del álgebra de las matrices cuadradas
    Por angel relativamente en foro Vectores, álgebra lineal y geometría
    Respuestas: 2
    Último mensaje: 30/04/2013, 10:00:06
  4. Matlab Convertir C++ a Matlab
    Por Nostrapacus en foro Métodos informáticos
    Respuestas: 1
    Último mensaje: 05/05/2012, 16:19:53
  5. Arcos de seguridad.
    Por elfio en foro Física cotidiana
    Respuestas: 2
    Último mensaje: 13/09/2007, 09:57:04

Etiquetas para este hilo

Permisos de publicación

  • No puedes crear hilos
  • No puedes responder
  • No puedes adjuntar archivos
  • No puedes editar tus mensajes
  •