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Hilo: Operaciones elemento de linea y matriz métrica, agujeros negros acústicos

  1. #1
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    Predeterminado Operaciones elemento de linea y matriz métrica, agujeros negros acústicos

    Buenas, en un trabajo sobre agujeros negros acústicos de Visser, Unruh y Carlos Barceló, me encuentro que utilizando la siguiente matriz simétrica 4x4:

     
f^{\mu \nu} (t, \vec x)  = \dfrac{\rho_0}{c_s^2} \begin{pmatrix}  
-1 & \cdot & -  v_o^j \\ 
\c...

    Definiendo:

    f^{\mu \nu} = \sqrt{-g} g^{\mu \nu}

    Siendo g el determinante de la métrica g^{\mu \nu}. Según el artículo, se llega a que \sqrt{-g}=\dfrac{\rho_0^2}{c_s}
    Podemos obtener entonces:

     
g^{\mu \nu} (t, \vec x) = \dfrac{1}{\rho_0 c_s} \begin{pmatrix}  
-1 & \cdot & - v_o^j \\ 
\cdo...

    Pero en el elemento de línea nos interesa ds^2 =  g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu, por lo que:

     
g_{\mu \nu} (t, \vec x) = \dfrac{\rho_0}{c_s} \begin{pmatrix}  
-(c_s^2-v_0^2) & \cdot & - v_o^...

    Obtenemos que:

    ds^2 =  \dfrac{\rho_0}{c_s} [-c_s^2 dt^2 +(dx^i -v_0^i dt)\delta^{ij}(dx^j - v_0^j dt)]

    Que es la métrica efectiva.

    Hasta aquí el problema, hay algunas herramientas matemáticas que me faltan o no sé emplear y no consigo obtener dicho elemento de línea con esos ingredientes. Por ejemplo, ¿cómo se invierte f^{\mu \nu} = \sqrt{-g} g^{\mu \nu} para obtener la matriz métrica? ¿Para obtener g_{\mu \nu} simplemente es la inversa?

    Agradezco de antemano cualquier posible ayuda que me puedan prestar.
    Última edición por Magic24; 06/11/2018 a las 12:56:17.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Operaciones elemento de linea y matriz métrica, agujeros negros acústicos

    No domino totalmente el tema te paso algunas relaciones útiles de tensores en álgebra tensorial



    g_{\alpha \beta}=\dfrac{\partial x^i} 
{\partial y^{\alpha}}\cdot\dfrac{\partial x^j} 
{\partia...

    g^{\alpha \beta}=\dfrac{\partial y_i} 
{\partial x_{\alpha}}\cdot\dfrac{\partial y_j} 
{\partia...

    [g]^{-1}_{\alpha \beta}=g^{\alpha \beta}

    \sqrt g es la raíz de la métrica con todos los índices bajados
    Saludos \mathbb {R}^3

  3. El siguiente usuario da las gracias a Richard R Richard por este mensaje tan útil:

    Magic24 (08/11/2018)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Operaciones elemento de linea y matriz métrica, agujeros negros acústicos

    Gracias, sigo dándole vueltas, creo que ya lo tengo.

  5. #4
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    Predeterminado Re: Operaciones elemento de linea y matriz métrica, agujeros negros acústicos

    Hola Magic24, igual te contesto tarde, pero la métrica en covariante se calcula tal y como dices, realizando la inversa de toda la vida de tu matriz de la métrica contravariante.
    Última edición por IsaacDL; 08/11/2018 a las 11:58:22.

  6. El siguiente usuario da las gracias a IsaacDL por este mensaje tan útil:

    Magic24 (08/11/2018)

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