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Hilo: Resolver sumatoria

  1. #1
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    Predeterminado Resolver sumatoria

    Hola, no me sale este ejercicio.


    Resuelva la siguiente sumatoria \displaystyle\sum_{k=1}^n{}\displaystyle\sum_{i=0}^k{} (2^{k+i}+1)


    Lo que he hecho:


    \displaystyle\sum_{k=1}^n{}\displaystyle\sum_{i=0}^k{} (2^{k+i}+1) = (2^{1+0}+1) + (2^{2+1}+1) + ...
    = (2^1+1)+(2^3+1)+(2^5+1)+(2^7+1)+...+(2^{n+k}+1)
    = 2^{2n-1}+1 (se me ocurre escribir esto pero no resulta al reemplazar)






    De antemano gracias.




    Saludos.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Resolver sumatoria

    Primero vamos a intentar resolver:

    \displaystyle \sum_{i=0}^k (2^{k+i}+1)=\sum_{i=0}^k 2^k 2^i+\sum_{i=0}^k 1=2^k \sum_{i=0}^k 2^i+(...

    Este sumatorio \dst \sum_{i=0}^k 2^i es una serie geométrica, por lo tanto \dst \sum_{i=0}^k 2^i=2^{k+1} -1

    Sustituyendo: \displaystyle \sum_{i=0}^k (2^{k+i}+1)=2^k(2^{k+1}-1)+k+1=2 \cdot 2^{2k}-2^k+k+1

    Por lo tanto:

    \displaystyle\sum_{k=1}^n \sum_{i=0}^k{} (2^{k+i}+1)=\sum_{k=1}^n (2 \cdot 2^{2k}-2^k+k+1)

    Mira a ver si a partir de aquí puedes acabarlo. Hay que proceder de forma muy similar a como hemos hecho arriba.

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 08/11/2018 a las 16:30:10. Razón: Presentación
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch!"

  3. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    cristianoceli (08/11/2018)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Resolver sumatoria

    Cita Escrito por cristianoceli Ver mensaje
    Hola, no me sale este ejercicio.

    Resuelva la siguiente sumatoria \displaystyle\sum_{k=1}^n{}\displaystyle\sum_{i=0}^k{} (2^{k+i}+1)
    Te daré una pista:
    Hagamos

     a_k=\displaystyle\sum_{i=0}^k{} (2^{k+i}+1)

    Entonces

    \displaystyle\sum_{k=1}^n{}\displaystyle\sum_{i=0}^k{} (2^{k+i}+1)=\displaystyle\sum_{k=1}^n{} a_k

    Hallemos a_1:

     a_1=\displaystyle\sum_{i=0}^1{} (2^{1+i}+1)=(2^{1+0}+1)+(2^{1+1}+1)

    a_1=(2^1+1)+(2^2+1)

    Si te das cuenta, el término (2^2+1) falta en tu desarrollo.

  5. El siguiente usuario da las gracias a Jaime Rudas por este mensaje tan útil:

    cristianoceli (08/11/2018)

  6. #4
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    Predeterminado Re: Resolver sumatoria

    Muchas gracias a ambos.

    Lo intentaré


    Saludos

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