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Hilo: Integración en coordenadas isotrópicas

  1. #1
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    Predeterminado Integración en coordenadas isotrópicas

    Hola buenas, a la hora de tomar coordenadas isotrópicas en una métrica general para un espacio-tiempo estático y esféricamente simétrico, en el proceso me encuentro con la siguiente expresión:

    \dfrac{dr'^2}{r'^2}= \dfrac{dr^2}{r^2 (1-2M/r)}

    En teoría, la solución es:

    r = r'\left(1 + \dfrac{M}{2r'}\right)^2

    Me han sugerido el cambio:

    dr'^2 = 2r'dr'

    Que simplifica el cálculo, pero aún no veo cómo se resuelve la integral. En realidad mi único problema con este ejercicio es resolver la integral, tampoco me la hace ningún programa de computación.
    Última edición por Magic24; 12/11/2018 a las 16:25:52.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Integración en coordenadas isotrópicas

    Las coordenadas isotrópicas generan la siguiente relación

    \dd r^2 + r^2 \dd\Omega^2 = \dd x^2 + \dd y^2 + \dd z^2

    donde

    \dd\Omega^2 = \dd\theta^2 + \sin^2\theta \dd \phi^2

    donde x = \vec r \cos \phi \sin \theta,

    y = \vec r \sin \phi \sin \theta,

    z = \vec r \cos  \theta,



    Cita Escrito por Magic24 Ver mensaje

    Me han sugerido el cambio:

    dr'^2 = 2r'dr'
    no se si funciona pero de hacerlo tienes una ecuación diferencial que se resolvería así


    \dfrac{2r'dr'}{r'^2}= \dfrac{2rdr}{r^2 (1-2M/r)}

    \dst\int\limits_{r'_o}^{\infty}\dfrac{2r'\dd r'}{r'^2}=\dst\int\limits_{r_o}^{\infty} \dfrac{2r \...

    creo que tienen solución fácil
    Última edición por Richard R Richard; 13/11/2018 a las 01:07:06.
    Saludos \mathbb {R}^3

  3. El siguiente usuario da las gracias a Richard R Richard por este mensaje tan útil:

    Magic24 (13/11/2018)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Integración en coordenadas isotrópicas

    Pero no se consigue la relación de las coordenadas isotrópicas, ¿no?

  5. #4
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    Predeterminado Re: Integración en coordenadas isotrópicas

    Cita Escrito por Magic24 Ver mensaje
    Pero no se consigue la relación de las coordenadas isotrópicas, ¿no?
    No se muy bien de que va la idea para relacionar r y r' , intuyo que quieres llegar, a la expresión de la métrica de Schwarzchild, si ese es el caso sirvete de guía con Deducción de la métrica de Schwarzchild
    Saludos \mathbb {R}^3

  6. #5
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    Predeterminado Re: Integración en coordenadas isotrópicas

    Expongo el problema para contextualizar:

    Demuestra que un elemento de línea general para un espacio-tiempo estático y esfericamente simétrico:

    ds^2 = -e^{\nu(r)} dt^2 + e^{\lambda(r)} dr^2 + r^2 d\Omega^2

    siempre se puede poner en forma isotropica:

    ds^2 = -e^{A(r')} dt^2 + e^{B(r')} dr'^2 + r'^2 d\Omega^2

    Entonces yo lo que he hecho ha sido escribir la métrica en la forma siguiente:

    ds^2 = -A^2(r) dt^2 + B^2(r) d\Sigma^2

    Con:

    d\Sigma^2 = dr^2 + r^2 d\Omega^2

    Es decir, la métrica de Schwarzschild es:

    ds^2 = -(1-\dfrac{2M}{r}) dt^2 + \dfrac{1}{1- \frac{2M}{r}} dr^2 + r^2 ( d\theta^2 + \sin^2\theta...

    Por lo que, haciendo r \rightarrow r', tenemos:

    ds^2 = -(1-\dfrac{2M}{r'}) dt^2 + B^2(r') (dr'^2 + r'^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2))

    Por lo que para que la parte radial y la parte angular sea igual, obtenemos dos ecuaciones:

    B^2(r') dr'^2 = \dfrac{dr^2}{1- \frac{2M}{r}}
    B^2(r') r'^2 = r^2

    Haciendo una entre otra, obtengo la expresión:

    \dfrac{dr'^2}{r'^2}=\dfrac{dr^2}{r^2(1-\frac{2M}{r})}

    Y en esa expresión es donde estoy atascado, ahí está la duda.

  7. #6
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    Predeterminado Re: Integración en coordenadas isotrópicas

    ds^2 = -e^{\nu(r)} dt^2 + e^{\lambda(r)} dr^2 + r^2 d\Omega^2

    ya esta escrito en forma isotrópica, se convirtió de un espacio de Minkowski \mathbb R_1^3 donde las coordenadas espaciales son similares a las cartesianas a uno donde las coordenadas espaciales son similares a las polares....

    es isotrópica porque tiene las misma propiedades para todo \theta y \phi para cada r, ademas un observador en el origen r=0 ve las misma propiedada tanto en r como en -r

    en cambio no sucede lo mismo a las y y z para cada x en el espacio de Minkowski


    no será que lo que estas pretendiendo es usar las coordenadas de Kruskal
    Última edición por Richard R Richard; 14/11/2018 a las 03:19:08. Razón: aclaración
    Saludos \mathbb {R}^3

  8. El siguiente usuario da las gracias a Richard R Richard por este mensaje tan útil:

    Magic24 (15/11/2018)

  9. #7
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    Predeterminado Re: Integración en coordenadas isotrópicas

    Veremos, en cuenta lo sepa diré algo. Gracias igualmente

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