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Hilo: densidad de carga polarizada

  1. #1
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    Predeterminado densidad de carga polarizada

    Considere una esfera conductora de radio R1, cargada
    con Q. La cual esta rodeada de un manto dielectrico
    de permitividad e y radio R2 (con respecto al centro de
    la esfera), el resto del espacio esta vacıo. Determine:
    b) Las densidades de carga libre e inducidas por la
    polarizacion en las interfaces (cambios de medio).


    Como puedo calcular la b) para R1 por ejemplo ? el resultado me indica que es un valor negativo pero a mi me queda el valor positivo :s ni idea como lo calculan para llegar a eso
    se supone que debo calcular la carga polarizada en R1 para la izquierda y para la derecha pero a mi me queda positivo el valor.
    Resultado
    -(e-e0)/e * [Q/4*pi*R1^2]

    Última edición por Emilio Ortega; 16/11/2018 a las 21:54:08.

  2. #2
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    Predeterminado Re: densidad de carga polarizada

    La clave es conocer la expresión de las densidades de carga superficiales de polarización:

    \sigma = \vec{P} \cdot \vec{n}

    Donde \vec{n} es el vector normal a la superfície de separación de los medios, este vector apunta hacia fuera del dieléctrico.

    Necesitas por tanto obtener \vec{P}, si presumimos que el dieléctrico es lineal la relación existente entre \vec{P}, \vec{D} y \vec{E} es:

    \vec{D} = \epsilon_0  \vec{E} + \vec{P} = \epsilon_0  \vec{E} + \epsilon_0 \chi \vec{E}  = \left ...

    \vec{D} la puedes obtener fácilmente con la ley de Gauss:

     \dst \oint_S \vec{D} \cdot \dd \vec{S} = Q_i

    Teniendo \vec{D} obtienes \vec{E} y con estas dos obtienes \vec{P} y ya puedes obtener la primera expresión.
    Última edición por Ulises7; 17/11/2018 a las 15:04:23.
    Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.
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  3. #3
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    Predeterminado Re: densidad de carga polarizada

    Cita Escrito por Ulises7 Ver mensaje

    \sigma = \vec{P} \cdot \vec{n}
    Si ya calcule D E y P pero aqui en esta formula el n es (-n) ? porque yo llego a la solución pero con el signo contrario

  4. #4
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    Predeterminado Re: densidad de carga polarizada

    Cita Escrito por Emilio Ortega Ver mensaje
    Si ya calcule D E y P pero aqui en esta formula el n es (-n) ? porque yo llego a la solución pero con el signo contrario

    En la primera superfície sí es -n (respecto al origen de la esfera conductora), como P es positiva (se aleja de la esfera) su producto es negativo y se induce una carga de polarización superficial negativa.

    En cambio en la otra superfície, R2 n y P coinciden en signo y por tanto la carga es positiva.

    Puedes ver el signo de P desarrollando la expresión que la relaciona con E y D y teniendo en cuenta que la permitividad de los medios materiales es siempre mayor que la del vacío:

    \vec{P}= \vec{D} - \epsilon_0 \vec{E} = \vec{D} \left ( 1 - \dfrac{\epsilon_0}{\epsilon} \right )...

    Donde \epsilon_r es la permitividad relativa o constante dieléctrica:

    \epsilon_r = \dfrac{\epsilon}{\epsilon_0}

    También puedes llegar al signo de P mediante el argumento físico de qué es la polarización:

    \vec{P} = \dfrac{\dd \vec{p}}{\dd V}

    Que no es más que la densidad de los momentos dipolares. Como el momento dipolar apunta siempre de una carga negativa a una positiva y tienes un campo eléctrico E positivo, el efecto en el dieléctrico es alejar ligeramente las cargas positivas y acercar las negativas (se produce un torque de estas cargas produciendo un campo eléctrico inducido), así tienes que en este caso P es positiva.
    Última edición por Ulises7; 17/11/2018 a las 18:28:08.
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  5. #5
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    Predeterminado Re: densidad de carga polarizada

    Cita Escrito por Ulises7 Ver mensaje
    En la primera superfície sí es -n (respecto al origen de la esfera conductora), como P es positiva (se aleja de la esfera) su producto es negativo y se induce una carga de polarización superficial negativa.

    En cambio en la otra superfície, R2 n y P coinciden en signo y por tanto la carga es positiva.

    Puedes ver el signo de P desarrollando la expresión que la relaciona con E y D y teniendo en cuenta que la permitividad de los medios materiales es siempre mayor que la del vacío:

    \vec{P}= \vec{D} - \epsilon_0 \vec{E} = \vec{D} \left ( 1 - \dfrac{\epsilon_0}{\epsilon} \right )...

    Donde \epsilon_r es la permitividad relativa o constante dieléctrica:

    \epsilon_r = \dfrac{\epsilon}{\epsilon_0}

    También puedes llegar al signo de P mediante el argumento físico de qué es la polarización:

    \vec{P} = \dfrac{\dd \vec{p}}{\dd V}

    Que no es más que la densidad de los momentos dipolares. Como el momento dipolar apunta siempre de una carga negativa a una positiva y tienes un campo eléctrico E positivo, el efecto en el dieléctrico es alejar ligeramente las cargas positivas y acercar las negativas (se produce un torque de estas cargas produciendo un campo eléctrico inducido), así tienes que en este caso P es positiva.
    muchas gracias por responder ulises, pero tengo una duda, no se supone que se analiza por dentro y por fuera, ejemplo, en el caso de la superficie R1 seria
    sigma(R1) = sigma (R1 -)* (-n) + sigma(R1 +)*n
    pero en R1 por la izq es 0 entonces es sigma R1 por la derecha y el producto punto es + y ahi me queda el resultado positivo, pero en realidad el resultado es negativo ahi está mi confusion

  6. #6
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    Predeterminado Re: densidad de carga polarizada

    Se analiza por dentro y por fuera, pero del dieléctrico, es decir R1 y R2. No entiendo de donde sacas esa doble superfície para cada uno de estos radios. Sólo tienes que tomar una en cada caso. El primero es P por -n, ya que la superficie del dieléctrico apunta hacia la esfera conductora. En R2 es al revés.
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  7. #7
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    Predeterminado Re: densidad de carga polarizada

    de este dibujo @ulises7 porque estuve leyendo y se supone que se debe considerar las condiciones de salto, en r<R1 es 0: D, E y P
    entre R1<r<R2 ya tenemos valores para D, E y P luego si yo quiero calcular la densidad sup de carga pol en R1 entonces es:


    sigma polarizada(R1) = P1 (R1 -)* (-n1) + P2(R1 +)*n2
    = 0 *-n + P2(R1 +)*n2
    = P2(R1 +)*n2

    y como r tongo del vector P2 * n tongo2 estan en la misma direccion es 1 y me queda el resultado positivo, pero deberia ser negativo...
    asi fue como lo lei en un documento de una Universidad que se calculaba


    (R1- significa por la izq y R1+ significa por la derecha)
    (n1 tongo es el que esta en el interior de R1 y n2 tongo el del exterior)
    Nombre:  2323.png
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    Última edición por Emilio Ortega; 17/11/2018 a las 20:34:00.

  8. #8
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    Predeterminado Re: densidad de carga polarizada

    Para algo de teoría tal vez te sirva revisar está página:

    http://laplace.us.es/wiki/index.php/...rico_con_hueco

    Saludos.

  9. #9
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    Predeterminado Re: densidad de carga polarizada

    A mi juicio la interpretación del dibujo está mal, tal y como se plantea el problema que has puesto del dibujo se han añadido dos superfícies extras cuando en el original el dieléctrico rodea completamente a la esfera conductora, teniendo que analizar sólo dos superfícies, la interior R1 y la exterior R2.

    Yo lo que haría es:

    R1:

    \sigma_1 = \vec{P} \cdot \vec{n} = -P

    R2:

    \sigma_2 = \vec{P} \cdot \vec{n} = P

    Ya que en el primer caso n apunta hacia adentro y en el segundo hacia fuera. P en ambos apunta hacia afuera de forma radial.

    No veo sinceramente porqué habría que tener en cuenta la continuidad de los campos en ambas superfícies a menos que se me esté escapando algo.
    Última edición por Ulises7; 18/11/2018 a las 20:30:31.
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