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Hilo: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

  1. #1
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    Predeterminado Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

    Hola, tengo un problema con el siguiente ejercicio:

    En cada uno de los tres planos indefinidos x = - 2, x = 0, x = 2 m, existe una distribución decarga superficial \sigma_1 = 2 C/m^2, \sigma_2 = 4 C/m^2, \sigma_3 = -3 C/m^2 respectivamente. Hállense el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio, tomando como origen de potenciales x = 0m.

    Ya tengo los campos, por ejemplo para la región I, x<-2 obtengo E_I= - \dfrac{3}{2 \epsilon_0} n con en el vector normal a cada plano. La cosa es a la hora de calcular el potencial, creo que he de integrar tal que:

    V = - \int E dl

    Para la región citada debe dar V_I= \dfrac{3}{2 \epsilon_0} x + \dfrac{4}{\epsilon_0} pero no termino de ver la integral y los límites de integración.

    Gracias de antemano
    Última edición por Magic24; 26/11/2018 a las 16:48:36. Razón: Corregir enunciado

  2. #2
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    Predeterminado Re: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

    Cita Escrito por Magic24 Ver mensaje
    ... En cada uno de los tres planos indefinidos x = - 2, x = 0,  x = 2 m, existe una distribución descarga superficial \sigma_1 = 2 C/m^2, \sigma_2 = 4 C/m^2, \sigma_3 = -3 C/m^2 respectivamente. Hállense el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio, tomando como origen de potenciales .......
    No entiendo, ¿Qué origen de potenciales dicen que tomes?
    Saludos.

  3. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    Magic24 (26/11/2018)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

    Perdona, ya he corregido el enunciado.

  5. #4
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    Predeterminado Re: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

    Si ya tienes el campo E(x) en cada una de las 3 zonas, el potencial para cada zona tomando el plano x=0 como referencia entiendo que es, según la definición de potencial:

    \displaystyle V(x)=-\int_0^x E(x) \ dx

    Saludos.

  6. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    Magic24 (26/11/2018)

  7. #5
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    Predeterminado Re: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

    Sí, es sencillo obtener que V_I = \dfrac{3}{2 \epsilon_0} x, lo que me falta es que hay un término \dfrac{4}{\epsilon_0} que no sé cómo se obtiene.
    Última edición por Magic24; 26/11/2018 a las 17:37:12.

  8. #6
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    Predeterminado Re: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

    Nos dan las densidades de carga de cada uno de los 3 planos:

    \sigma_{-2}=2 \ C/m^2 para el plano situado en x = - 2 \ m

    \sigma_0=4 \ C/m^2 para el plano situado en x = 0 \ m

    \sigma_{+2}=-3 \ C/m^2 para el plano situado en x = + 2 \ m


    Sabemos que el campo creado en el vacío por un plano infinito situado en x=0 con carga superficial \sigma es:

    \vec E(x)=+\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} \ \hat i para x > 0

    \vec E(x)=-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} \ \hat i para x < 0

    Que con la ayuda de la Función Signo se puede expresar como:

    \vec E(x)=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} \ sgn(x) \ \hat i

    La función sgn(x) es la Función signo

    Luego el campo creado por cada uno de los 3 planos cargados si estuviese él solo, es respectivamente:

    \vec E_{-2} (x)=\dfrac{\sigma_{-2}}{2\epsilon_0} sgn(x+2) \ \hat i=\dfrac{1}{\epsilon_0} sgn(x+2)...

    \vec E_{0} (x)=\dfrac{\sigma_{0}}{2\epsilon_0} sgn(x) \ \hat i=\dfrac{2}{\epsilon_0} sgn(x) \ \hat i

    \vec E_{+2} (x)=\dfrac{\sigma_{+2}}{2\epsilon_0} sgn(x-2) \ \hat i=-\dfrac{3}{2\epsilon_0} sgn(x-...

    Aplicamos el Teorema de Superposición para calcular el campo en cualquier punto x:

    \boldsymbol{\vec E(x)=\dfrac 1{\epsilon_0} \left (sgn(x+2)+2 \ sgn(x)-\dfrac 3 2 \ sgn(x-2) \righ...

    Ahora simplemente puedes sustituir por ejemplo x=-3, x=-1, x=1, x=3 en las ecuaciones del Campo, para ver cuánto vale éste en cada una de las 4 zonas en que ha quedado dividido el espacio, (campo = línea azul del gráfico de abajo)

    El Potencial Eléctrico es la integral del Campo Eléctrico:

    V(x)=\dst \int E(x) \cdot dx

    Recordar que la función Signo es la derivada de la función Valor Absoluto, por lo tanto:

    V(x)=\dfrac 1{\epsilon_0} \left ( |x+2|+2 \ |x| -\dfrac 3 2 \ |x-2|+K \right )

    Para determinar la constante de integración: queremos que el plano x=0 sea el de referencia, es decir queremos que V(0)=0

    0=2+0-\dfrac 3 2 \ 2+K

    K=1

    Por lo tanto

    \boldsymbol{V(x)=\dfrac 1{\epsilon_0} \left ( |x+2|+2 \ |x| -\dfrac 3 2 \ |x-2|+1 \right )}

    El gráfico del campo y del potencial queda así, ( en el eje vertical se omite el factor 1/\epsilon_0 ):

    Nombre:  campo potencial.png
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    Saludos.
    Última edición por Alriga; 22/01/2019 a las 13:16:19. Razón: Presentación

  9. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    Magic24 (28/11/2018)

  10. #7
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    Predeterminado Re: Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

    Muchísimas gracias, espectacular resolución!

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