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Hilo: Energía almacenada en sistema de condensadores

  1. #1
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    Predeterminado Energía almacenada en sistema de condensadores

    Hola, no entiendo cómo empezar el siguiente ejercicio-circuito sobre condensadores y su energía almacenada.

    Dado el sistema de la figura, calcular la energía almacenada por cada condensador si la diferencia de potencial entre los puntos A y B es V= 20 V, siendo C = 4 \mu F.

    Nombre:  Figura.jpg
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    Sé calcular las capacidades equivalente, no hay problema en eso. Finalmente obtengo que la energia total almacenada es:

    W= \dfrac{1}{2} C_{eq} \Delta V^2 = \dfrac{1}{2} 2.47 \cdot 10^{-6} \cdot 20^2=4.94 \cdot 10^{-4} J

    También sé que en cada rama hay la misma diferencia de potencial al estar en paralelo y que, en la rama superior, V_{12} = V_1 + V_2. Escribo la expresión de la energía almacenada:

    W= \sum_{n = i} \dfrac{1}{2} C_i \Delta V_i^2

    Pero hay alguna relación entre las diferencias de potenciales que no termino de captar, puesto que pretendo poner toda la expresión de la energía almacenada en términos de \Delta V_1 y ya ir escribiendo el resto, pero no sé qué me falta.

    Gracias por anticipado.
    Última edición por Magic24; 26/11/2018 a las 17:34:43.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Energía almacenada en sistema de condensadores

    \Delta V_i=\dfrac{Q_i}{C_i}

    \Delta V=\Delta V_1+\Delta V_2

    \Delta V=\dfrac{Q_1}{C_1}+\dfrac{Q_2}{C_2}

    Como Q_1=Q_2

    \Delta V=Q_1\left(\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}\right)=Q_1\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}

    La energía de una rama

    E_1=\frac 12 \dfrac{Q_1^2}{C_1}+\frac 12 \dfrac{Q_1^2}{C_2}

    Y la de la otra

    E_2=\frac 12 \dfrac{Q_3^2}{C_3}+\frac 12 \dfrac{Q_3^2}{C_4}

    El total es la suma de ambas

    Y puedes dejar todo en función de \Delta V

    E=\frac12\dfrac{\Delta V^2}{C_1}\left(\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}\right)^2+\frac12\dfrac{\Delta V^2}{...\frac12\dfrac{\Delta V^2}{C_3}}\left(\dfrac{C_3C_4}{C_3+C_4}\right)^2+\frac12\dfrac{\Delta V^2}{C...

    Luego
    E=\frac12\Delta V^2\left(\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}+\dfrac{C_3C_4}{C_3+C_4}\right)

    Reemplazando valores de Capacidades

    E=\frac12\Delta V^2\left(\dfrac{2C}{3}+\dfrac{3C}{2}\right)

    E=\frac12\Delta V^2\left(\dfrac{13C}{6}\right)=\dfrac {5200}{3}\mu J
    Última edición por Richard R Richard; 27/11/2018 a las 10:14:49. Razón: Falto un Cero y micro
    Saludos \mathbb {R}^3

  3. El siguiente usuario da las gracias a Richard R Richard por este mensaje tan útil:

    Magic24 (28/11/2018)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Energía almacenada en sistema de condensadores

    Vamos a trabajar en V, \mu F, \mu C y \mu J

    Rama 1-2

    C_{12}=\dfrac{4 \cdot 8}{4+8}=2.6667 \ \mu F Por estar en serie

    Q_{12}=C_{12} V=C_{12} 20=53.3333 \ \mu C=Q_1=Q_2 Por estar en serie

    V_1=\dfrac{Q_1}{C_1}=\dfrac{53.3333}{4}=13.33 \ V

    V_2=\dfrac{Q_2}{C_2}=\dfrac{53.3333}{8}=6.67 \ V

    Comprobación: V=V_1+V_2=13.33+6.67=20 \ V OK

    E_1=\dfrac 1 2 C_1 V_1^2=\dfrac 1 2 4 \cdot 13.33^2=355.56 \ \mu J

    E_2=\dfrac 1 2 C_2 V_2^2=\dfrac 1 2 8 \cdot 6.67^2=177.78 \ \mu J

    Comprobación:

    E_1+E_2=533.33 \ \mu J

    E_{12}=\dfrac 1 2 C_{12} V^2=\dfrac 1 2 2.6667 \cdot 20^2=533.33 \ \mu J OK

    Rama 2-3

    C_{34}=\dfrac{8 \cdot 24}{8+24}=6 \ \mu F Por estar en serie

    Q_{34}=C_{34} 20=120 \ \mu C=Q_3=Q_4 Por estar en serie

    V_3=\dfrac{Q_3}{C_3}=\dfrac{120}{8}=15 \ V

    V_4=\dfrac{Q_4}{C_4}=\dfrac{120}{24}=5 \ V

    Comprobación: V=V_3+V_4=15+5=20 \ V OK

    E_3=\dfrac 1 2 C_3 V_3^2=\dfrac 1 2 8 \cdot 15^2=900 \ \mu J

    E_4=\dfrac 1 2 C_4 V_4^2=\dfrac 1 2 24 \cdot 5^2=300 \ \mu J

    Comprobación:

    E_3+E_4=1200 \ \mu J

    E_{34}=\dfrac 1 2 C_{34} V^2=\dfrac 1 2 6 \cdot 20^2=1200 \ \mu J OK

    Comprobación:

    E=E_1+E_2+E_3+E_4=1733.33 \ \mu J

    C=C_{12}+C_{34}=8.6667 \ \mu F Por estar en paralelo

    E=\dfrac 12 C V^2=\dfrac 1 2 8.6667 \cdot 20^2=1733.33 \ \mu J OK

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 27/11/2018 a las 10:47:21. Razón: Corregir error de tecleo, gracias Richard + presentación

  5. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    Magic24 (28/11/2018)

  6. #4
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    Predeterminado Re: Energía almacenada en sistema de condensadores

    Hola Alriga en este momento no puedo revisar si mi calculo esta mal y donde probablemente haya metido la pata, pero me parece que tienes que revisar el valor de C_1 en el cálculo de E_1 que te dio bien de todos modos , debe ser error de tipeo.
    Última edición por Richard R Richard; 27/11/2018 a las 10:19:50.
    Saludos \mathbb {R}^3

  7. El siguiente usuario da las gracias a Richard R Richard por este mensaje tan útil:

    Alriga (27/11/2018)

  8. #5
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    Predeterminado Re: Energía almacenada en sistema de condensadores

    Cita Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
    Hola Alriga en este momento no puedo revisar si mi calculo esta mal ...
    A priori no veo nada que esté mal, solo que usas un camino muy largo, te dedicas a hacer una demostración de tu antepenúltima ecuación, que en mi opinión es innecesaria. Para hallar la energía total almacenada en los 4 condensadores, es directo asociar los 4 condensadores y calcular la energía:

    C=\dfrac{4\cdot8}{4+8}+\dfrac{8\cdot 24}{8+24}=8.6667 \ \mu F

    E=\dfrac 1 2 8.6667 \cdot 20^2=1733.33 \ \mu J

    Cita Escrito por Magic24 Ver mensaje
    C = 4 \mu F

    Nombre:  Figura.jpg
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    Sé calcular las capacidades equivalente, ...

    W= \dfrac{1}{2} C_{eq} \Delta V^2 = \dfrac{1}{2} 2.47 \cdot 10^{-6} \cdot 20^2=4.94 \cdot 10^{-4} J
    Observa que calculas mal la capacidad equivalente, que es 8.6667 \ \mu F y no 2.47 \ \mu F

    Saludos
    Última edición por Alriga; 27/11/2018 a las 11:09:57. Razón: LaTeX

  9. 2 usuarios dan las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    Magic24 (28/11/2018),Richard R Richard (27/11/2018)

  10. #6
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    Predeterminado Re: Energía almacenada en sistema de condensadores

    Gracias a ambos, efectivamente me faltaba trabajar con las cargas.

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