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Hilo: Integral de tanh(x)

  1. #1
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    Predeterminado Integral de tanh(x)

    Buenas, me ha surgido la siguiente duda sobre calcular el área bajo la curva.

    Integrando la función tanh(x) como \int \frac{e^x - {e}^{ -x} }{e^x + {e}^{-x } } dx , he hecho la sustición x=e^x, quedando \int \frac{u^2 -1}{u^2 +1 } \frac{1}{u } du, y la he dividido en dos integrales \int\frac{2u}{u^2 +1 } du -\int\frac{1}{ u} du con lo

    que me queda ln(e^2x +1) - ln(e^x) = ln(\frac{{e}^{ 2x} +1}{e^x }). Como también se que la integral es ln(cosh(x)) he graficado las dos soluciones y al hacer la resta de las dos

    funciones queda  ln(\frac{{e}^{ 2x} +1}{e^x }) - ln(cosh(x)) =  ln(2). Mi duda es si la primera solución sirve para calcular el área bajo la curva tanh(x).

    Gracias de antemano.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Integral de tanh(x)

    Piensa que la integral de la tanh x es inmediata:

    \dst \int \tanh x \ dx=\dst \int \dfrac{\sinh x}{\cosh x} dx

    Como la derivada del cosh x es el sinh x, inmediatamente:

    \dst \int \tanh x \ dx=\ln \cosh x+C

    Tú has obtenido, ¡no olvides la constante de integración!

    \dst \int \tanh x dx=\ln \dfrac{e^{2x}+1}{e^x}+K_1=\ln \dfrac{e^{2x}+1}{e^x}+\ln K=\ln \dfrac{K(e...

    \dst \int \tanh x \ dx=\ln \dfrac{K(e^{2x}+1)}{e^x}

    Puedes usar cualquiera de las 2 expresiones (1) o (2) para calcular el área bajo la curva, ambas son correctas, como entonces la integral es definida, las constantes se simplifican al aplicar la Regla de Barrow y se obtiene el mismo resultado. Compruébalo por ejemplo hallando con (1) y con (2):

    \dst \int_1^2 \tanh x \ dx=0.891222

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 04/12/2018 a las 22:40:02. Razón: Corregir error
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch!"

  3. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    AlexFeynman (04/12/2018)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Integral de tanh(x)

    Cierto, me había olvidado de la constante.

  5. #4
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    Predeterminado Re: Integral de tanh(x)

    Cita Escrito por AlexFeynman Ver mensaje
    \int \frac{u^2 -1}{u^2 +1 } \frac{1}{u } du, y la he dividido en dos integrales \int\frac{2u}{u^2 +1 } du -\int\frac{1}{ u} du

    pues deberia quedarte

    \int\frac{u}{u^2 +1 } du -\int\frac{1}{ u^3+u} du

    y si resuelves la integral ...si te calcula el área bajo la curva de  tanh
    Saludos \mathbb {R}^3

  6. #5
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    Predeterminado Re: Integral de tanh(x)

    Cita Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
    pues debería quedarte

    \int\frac{u}{u^2 +1 } du -\int\frac{1}{ u^3+u} du

    y si resuelves la integral ...si te calcula el área bajo la curva de  tanh
    Richard, observa que la descomposición de Alex también es correcta, es la típica que se hace en estos casos:

    \dfrac{u^2 -1}{u^2 +1} \cdot \dfrac{1}{u}=\dfrac{A u}{u^2+1}+\dfrac B u

    Operando e igualando coeficientes del mismo grado sale:

    A+B=1

    B=-1

    Por lo tanto A=2

    \dfrac{u^2 -1}{u^2 +1}\cdot  \dfrac{1}{u}=\dfrac{2 u}{u^2+1}-\dfrac 1 u

    Saludos.
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch!"

  7. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    Richard R Richard (06/12/2018)

  8. #6
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    Predeterminado Re: Integral de tanh(x)

    Sí, he separado la fracción hallando A y B, es el método que estoy dando en clase.

  9. #7
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    Predeterminado Re: Integral de tanh(x)

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    Richard, observa que la descomposición de Alex también es correcta, es la típica que se hace en estos casos:
    Integración de funciones con cocientes racionales.... si habre hecho de esas integrales hace tiempo, pero ahora solo me despiste...Buscando como era el método, lo encontré pero a la vez no encontré solo uno sino varios métodos, y con ejemplos....

    http://www.dma.fi.upm.es/recursos/ap...l/metodos.html
    Saludos \mathbb {R}^3

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