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Hilo: Distribución de probabilidad chi cuadrado

  1. #1
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    ¡Gracias!
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    Predeterminado Distribución de probabilidad chi cuadrado

    ¡Buenos días!
    Tengo que hacer un problema que dice así:
    Sea una variable aleatoria \chi^2=Z_1^2+Z_2^+...+Z_n^2, siendo cada Z_k variables aleatorias independientes distribuidas según:

    \dst N(0,1)\equiv f(Z)=
    \dst \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}Z^2}

    Se pide hallar la distribución de probabilidad de \chi^2.



    Mi intento de solución:

    Lo primero que he hecho es definir la variable H=Z^2\Rightarrow dH=2ZdZ. Veamos cuál es la distribución de probabilidad de H:

    \dst f(H)dH=f(Z)dZ\Rightarrow f(H)=f(Z)\frac{dZ}{dH}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{1}{2}H}\frac{1...

    Ahora bien, bajo mi cambio de variable, la variable \chi^2 queda:

    \chi^2=H_1+H_2+H_3+...

    Ahora bien, por ser variables independientes, tenemos que la función de densidad de \chi^2 será igual a la convolución de las densidades de los H_k.

    Aquí es donde me pierdo.
    Mis dudas son dos:
    a) ¿Hasta ahora está todo correcto? Es que a veces me lío un poco con estas cosas, y no sé si he hecho bien el cambio de variable de H=Z^2.
    b) ¿Cómo hago la convolución de tantas funciones a la vez? Había hecho antes convoluciones de dos funciones, pero nunca de n...

    EDITO: se me acaba de ocurrir que, como el teorema de convolución establece que:

    \mathcal{F}(f*g)=\mathcal{F}f *\mathcal{F}g

    Podría hacer primero la trasnformada de Fourier (o Laplace) a la función densidad de un H_k, y luego elevar a la enésima potencia y deshacer la transformada. ¿Eso sería correcto?

    Gracias y un saludo.
    Última edición por MrM; 06/12/2018 a las 11:06:39.

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