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Hilo: Deducción de H=B/mu_0+M

  1. #1
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    Predeterminado Deducción de H=B/mu_0-M

    Hola, feliz Navidad a todos los usuarios!

    Quiero llegar a \mathbf H=\dfrac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M a partir del principio de superposición, al igual que algunos textos han hecho en electrostática con \mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P. En magnetostática me encuentro con un problema.

    Por ejemplo, en electrostática, por el principio de superposición, el potencial fuera de un cuerpo polarizado debe ser la suma de los potenciales debidos a cargas libres y ligadas. Al aplicar el gradiente resulta

    \begin{array}{cl}\boldsymbol\nabla V=\boldsymbol\nabla V_\text{l}+\boldsymbol\nabla V_\text{p}&(1...

    El campo total vendrá dado por el potencial eléctrico total (otra vez, por el ppio de superposición), de manera que \mathbf E=-\boldsymbol\nabla V. Si aplicamos el gradiente (respecto de las coordenadas de \mathbf r) a

    V_\text{p}\left(\mathbf r\right)=k_e \displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\...

    obtendremos el campo eléctrico debido a la polarización:

    \begin{array}{r@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}l}\boldsymbol\nabla V_p&=&\boldsymbol\nabla\left(k_...

    Sustituyendo en (1) y multiplicando la ecuación por \epsilon_0 resulta

    \epsilon_0\mathbf E+\mathbf P=-\epsilon_0\boldsymbol\nabla V_l

    Al miembro de la izquierda se le suele abreviar por

    \mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P

    al cual se le llama vector desplazamiento.

    En magnetostática no he visto en los libros que lo hagan así, si no sumando las corrientes de magnetización y libres. Aunque esto sirva me gustaría hacerlo por el principio de superposición y tendría que dar lo mismo:

    Partiendo de

    \mathbf A_\text{m}\left(\mathbf r\right)=k_m\displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf M\left(\mathbf r^{\...

    por el principio de superposición, el potencial vector fuera de un cuerpo magnetizado debe ser la suma de los potenciales vector debidos a corrientes libres y de magnetización. Al aplicar el rotacional obtenemos

    \begin{array}{cl}\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{l}+\bold...

    El campo magnético total resultará de aplicar el rotacional al potencial vector total (ppio de sup. again), de manera que \mathbf B=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A. Si aplicamos el rotacional (respecto de las coordenadas de \mathbf r) a (2) obtendremos el campo magnético debido a la magnetización del material:

    \begin{array}{r@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}l}\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}&=&\bold...

    Expandiendo el integrando:

    \begin{array}{r@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}l}\boldsymbol\nabla\wedge\left(\mathbf M\left(\math...

    Todo lo que derive al vector magnetización es nulo pues esta solamente depende de \mathbf r^{\prime}, por lo que (\text{b}) y (\text{c}) se anulan. El término (\text{d}) es el que interesa:

    k_m\mathbf M\left(\bls\nabla\cdot\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)=4\pi k_m \mathbf M\left(\mat...

    Pensé que el término (\text{a}) se anularía pero no me da nulo:

    \begin{array}{r@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}l}\left(\mathbf M\cdot\bls\nabla\right)\dfrac{\hat{...

    Separadamente (Con \mathbf R=\mathbf r-\mathbf r^\prime=R_1\hat{\mathbf e}_1+R_2\hat{\mathbf e}_2+R_3\hat{\mathbf e}_3 y R_i=x_i-x_i^\prime):

    \begin{array}{r@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}l}\dfrac{\partial R_j}{\partial x_i}&=&\dfrac{\part...
    Sustituyendo:

    \begin{array}{r@{\hspace{3pt}}c@{\hspace{3pt}}l}\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfra...
    Sustituyendo arriba el resultado e integrando (teniendo en cuenta que \mathbf m=\int_V\mathbf M\ \mathrm{d}\tau^\prime) obtengo:

    \mathbf B_\text{m}=-\dfrac{k_m}{R^3}\left[3\left(\mathbf m\cdot\hat{\mathbf R}\right)\hat{\mathbf...
    El primer término coincide con el campo magnetostático de un dipolo magnético. No entiendo la razón de que esté ahí, el electrostática no tenemos la contribución del dipolo eléctrico,

    De ser nulo (\text{a}), solamente quedaría integrar el término (\text{d}) y obtener \boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}=-\mu_0 \mathbf M\left(\mathbf r\right), por lo que sustituyendo en (3) quedaría \mathbf B+\mu_0 \mathbf M\equiv\mathbf H=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{l}. Aunque, aún así, fallaría el signo que acompaña a \mathbf M.

    Bueno, la vida es dura y no me da eso, ¿alguien ve el fallo?

    PD: A quien lo hiciera, gracias por leerse este tostón
    Última edición por rucky96; 29/12/2018 a las 12:28:09. Razón: Editar: He corregido algunas erratas y he añadido el resultado del campo B_m

  2. #2
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    Predeterminado Re: Deducción de H=B/mu_0+M

    Ya puedo volver a dormir tranquilo, tras días de árdua búsqueda... lo encontré! Realmente no estaban mal los cálculos, el término adicional se le debe al potencial magnético V_\text{m} (el escalar, no al potencial vector \mathbf A).

    Al que le haya traído de cabeza como a mí, puede consultar López Rodríguez, V., Montoya Lirola, M. and Pancorbo Castro, M. (2016). Electromagnetismo II. Madrid: Universidad Nacional de Educación a Distancia. Tema 1. CAMPO MAGNÉTICO EN MATERIALES - 6.1 Potencial escalar magnético.
    (Tiene una derivación prácticamente igual a la mía.)

    Feliz año a todo el mundo!

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