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Hilo: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

  1. #1
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    Predeterminado Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

    He visto este problema en un examen del año pasado y no estoy seguro de que cómo se resuelve. Espero que me puedan ayudar.

    Enunciado
    Un cuerpo de masa m parte de un punto A con una velocidad de módulo de v_{0}. Determine la velocidad del cuerpo cuando llega al punto B suponiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y la superficie es \mu_{d}=\beta(L^2-x^{2}). Asimismo, calcule el valor mínimo de v_{0} para que el cuerpo complete el movimiento circular de la figura suponiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y la superficie circular es \mu_{c}=\beta(R^2), siendo R el radio de dicha superficie.

    Figura

    Nombre:  Screenshot_2019-01-02 Blackboard Learn.png
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    Lo que he intentado hacer
    En el primer apartado, he intentado aplicar el Principio de Conservación de Energía Mecánica, teniendo en cuenta el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Y, en el segundo, no sé cómo empezar.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

    Salut Quim, bienvenido a La web de Física. Como nuevo miembro lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

    Energía cinética inicial:

    \dfrac 1 2 m v_0^2

    Energía cinética final:

    \dfrac 1 2 m v_L^2

    Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

    F=\mu_d N

    F=\beta (L^2-x^2) \ m g

    \dst W=\int_0^L \beta (L^2-x^2) \ m g \ dx

    Igualando, (conservación de la energía):

    \dst \dfrac 1 2 m v_0^2=\dfrac 1 2 m v_L^2+\int_0^L \beta (L^2-x^2) \ m g \ dx

    Resuelve la sencilla integral y despeja v_L para contestar el primer apartado del ejercicio.

    ¿Qué obtienes? ¿Sabes continuar para resolver el siguiente apartado?

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 03/01/2019 a las 11:05:27. Razón: LaTeX

  3. #3
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    Predeterminado Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

    El planteo que propones del primer apartado es correcto llegas a

    \frac 12mv_0^2-\dst\int\limits_0^L mg\beta (L^2-x^2) \dd x=\frac 12mv_B^2
    De donde despejas v_B

    En el segundo apartado aplicas el mismo principio, pero ahora tienes que aplicar que la normal aplicada por la superficie curva al cuerpo se haga nula en el punto superior o donde es liberada.Si aplicas allí equilibrio de fuerzas ,te sale que la aceleración centrípeta es igual a la aceleración de la gravedad de modo que

    \dfrac{v_f^2}{R}=g

    Al plantear la conservación ,reemplazas aplicando la relación , te queda entonces

    \frac 12mv_{min}^2-\dst\int\limits_0^L mg\beta (L^2-x^2) \dd x-\dst\int\limits_0^{\pi } mg\beta (...mg2R+\frac 12mgR=\frac 52mgR


    De donde despejas v_{min}

    No había visto tu respuesta ,saludos alriga

    Pd ahora que pienso la normal y la centrípeta varían también con el ángulo, luego precisare el cálculo
    Última edición por Richard R Richard; 03/01/2019 a las 11:32:24. Razón: Látex y saludo
    Saludos \mathbb {R}^3

  4. #4
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    Predeterminado Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

    En primer lugar, muchas gracias. Y, en segundo lugar, tengo varias dudas respecto a la respuesta que planteas para el primer apartado del problema:

    a) Yo normalmente calculo el trabajo realizado por cualquier fuerza (rozamiento, gravitatoria en una caída libre,...) como el producto de la fuerza por el desplazamiento. En este caso, hubiese hecho lo siguiente:
    W_{rozamiento} = -\beta(L^2-x^2)mg\Delta x =  -\beta(L^2-x^2)mgL. ¿Estaría bien así? Si no es así, no entiendo porqué funciona para la caída libre y no para este problema.

    b) Una vez que he despejado v_{L} se contesta al ejercicio. Para, el segundo apartado, no sé qué condiciones exigir para que la partícula describa la semicircunferencia de radio R completa.

    - - - Actualizado - - -

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    Salut Quim, bienvenido a La web de Física. Como nuevo miembro lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

    Energía cinética inicial:

    \dfrac 1 2 m v_0^2

    Energía cinética final:

    \dfrac 1 2 m v_L^2

    Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

    F=\mu_d N

    F=\beta (L^2-x^2) \ m g

    \dst W=\int_0^L \beta (L^2-x^2) \ m g \ dx

    Igualando, (conservación de la energía):

    \dst \dfrac 1 2 m v_0^2=\dfrac 1 2 m v_L^2+\int_0^L \beta (L^2-x^2) \ m g \ dx

    Resuelve la sencilla integral y despeja v_L para contestar el primer apartado del ejercicio.

    ¿Qué obtienes? ¿Sabes continuar para resolver el siguiente apartado?

    Saludos.
    En primer lugar, muchas gracias. Y, en segundo lugar, tengo varias dudas respecto a la respuesta que planteas para el primer apartado del problema:

    a) Yo normalmente calculo el trabajo realizado por cualquier fuerza (rozamiento, gravitatoria en una caída libre,...) como el producto de la fuerza por el desplazamiento. En este caso, hubiese hecho lo siguiente:
    W_{rozamiento} = -\beta(L^2-x^2)mg\Delta x =  -\beta(L^2-x^2)mgL. ¿Estaría bien así? Si no es así, no entiendo porqué funciona para la caída libre y no para este problema.

    b) Una vez que he despejado v_{L} se contesta al ejercicio. Para, el segundo apartado, no sé qué condiciones exigir para que la partícula describa la semicircunferencia de radio R completa.

  5. #5
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    Predeterminado Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

    W=F \Delta x solo es aplicable si la fuerza es constante en todo el recorrido "x" Pero en el caso general en que la fuerza y el desplazamiento son paralelos:

    dW=F(x) \ dx

    \dst W=\int_{x_0}^{x_1} F(x) \ dx

    Observa que "F" solo "puede salir fuera de la integral" si es constante, independiente de x. Pero en este caso:

    F(x)=\beta (L^2-x^2) \ m g \neq Cte

    Si la fuerza "F" y el desplazamiento "s" NO fuese paralelos, recuerda que entonces:

    \dst W=\int_{s_0}^{s_1} \vec{F}(s) \cdot d\vec{s}

    Cita Escrito por Quim Ver mensaje
    ... Para, el segundo apartado, no sé qué condiciones exigir para que la partícula describa la semicircunferencia de radio R completa ...
    Te lo explica Richard en el post#3

    \dfrac{v_f^2}{R}=g

    ¿Hay algo que no entiendes?

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 03/01/2019 a las 13:20:09. Razón: Ampliar información

  6. #6
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    Predeterminado Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    W=F \Delta x solo es aplicable si la fuerza es constante en todo el recorrido "x" Pero en general

    dW=F(x) \ dx

    \dst W=\int_{x_0}^{x_1} F(x) \ dx

    Observa que "F" solo "puede salir fuera de la integral" si es constante, independiente de x. Pero en este caso:

    F(x)=\beta (L^2-x^2) \ m g \neq Cte



    Te lo explica Richard en el post#3

    \dfrac{v_f^2}{R}=g

    ¿Hay algo que no entiendes?

    Saludos.
    ¿Por qué la condición debe ser esa? ¿Y en el post#3 dijo que la normal variaba en función del ángulo, eso es así?

    - - - Actualizado - - -

    Cita Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
    El planteo que propones del primer apartado es correcto llegas a

    \frac 12mv_0^2-\dst\int\limits_0^L mg\beta (L^2-x^2) \dd x=\frac 12mv_B^2
    De donde despejas v_B

    En el segundo apartado aplicas el mismo principio, pero ahora tienes que aplicar que la normal aplicada por la superficie curva al cuerpo se haga nula en el punto superior o donde es liberada.Si aplicas allí equilibrio de fuerzas ,te sale que la aceleración centrípeta es igual a la aceleración de la gravedad de modo que

    \dfrac{v_f^2}{R}=g

    Al plantear la conservación ,reemplazas aplicando la relación , te queda entonces

    \frac 12mv_{min}^2-\dst\int\limits_0^L mg\beta (L^2-x^2) \dd x-\dst\int\limits_0^{\pi } mg\beta (...mg2R+\frac 12mgR=\frac 52mgR


    De donde despejas v_{min}

    No había visto tu respuesta ,saludos alriga

    Pd ahora que pienso la normal y la centrípeta varían también con el ángulo, luego precisare el cálculo

    ¿Por qué varían la normal y la centrípeta con el ángulo? ¿Cómo sería la fórmula general en tal caso?

  7. #7
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    Predeterminado Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

    Cita Escrito por Quim Ver mensaje
    ¿Por qué la condición debe ser esa? ¿Y en el post#3 dijo que la normal variaba en función del ángulo, eso es así?....¿Por qué varían la normal y la centrípeta con el ángulo? ¿Cómo sería la fórmula general en tal caso?
    Hola ante todo mil disculpas , he posteado antes de ir a trabajar y se me hizo imposible contestar durante el dia

    Sí, la normal varia con el ángulo \theta en todo instante mientras hace la semicircunferencia el cuerpo está sometido al siguiente equilibrio en la dirección radial

    N-mg\cos\theta=m\dfrac{v_{\theta}^2}{R}

    la conservación de la energía se plantea como

    \frac12m v_B^2-\dst\int\limits_0^{\pi}\mu N \dd x=\frac 12mv_{\theta}^2+mg(R-R\cos\theta)



    reemplazando lo que vale \mu y lo que vale la normal N en función del ángulo de la primer ecuación en la segunda, y sabiendo que \dd x=R\dd \theta

    \frac12m v_B^2-\dst\int\limits_0^{\pi}\beta R^2 \left(mg\cos\theta+m\dfrac{v_{\theta}^2}{R}\right...

    de donde

    \frac12m v_B^2-\pi\beta R^2mv_{min}^2=\frac 12mv_{min}^2+mg2R

    y se despeja la velocidad mínima
    Última edición por Richard R Richard; 04/01/2019 a las 01:14:07.
    Saludos \mathbb {R}^3

  8. #8
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    Predeterminado Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

    Hola a todos.

    La primera parte del problema, tiene un resultado cuyo veredicto es unánime y con el que coincido plenamente. Como dicen Alriga y Richard a la par, planteando la conservación de la energía, se llega a la siguiente expresión, de la cual se obtiene v_Lv_B):

    \dst \dfrac 1 2 m v_0^2=\dfrac 1 2 m v_L^2+\int_0^L \beta (L^2-x^2) \ m g \ dx

    Ahora bien, la segunda parte no acabo de comprenderla. Richard llega a la expresión (post # 7):

    \frac12m v_B^2-\dst\int\limits_0^{\pi}\beta R^2 \left(mg\cos\theta+m\dfrac{v_{\theta}^2}{R}\right...

    donde v_{\theta} dentro de la integral es variable en función de \theta, por lo que no entiendo cómo se puede resolver la integral sin saber cómo varía v_{\theta}. Por el contrario, en el lado derecho de la igualdad, v_{\theta}, sí que es constante (v_{\theta}=v_{\pi}=\sqrt{Rg}, como dice Richard en el post # 3).

    Lo siento, pero de momento, solo puedo aportar incertidumbre.

    Saludos cordiales,
    JCB.

  9. #9
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    Predeterminado Re: Dinámica de una partícula en presencia de rozamiento y movimiento circular

    Cita Escrito por JCB Ver mensaje
    por lo que no entiendo cómo se puede resolver la integral sin saber cómo varía v_{\theta}.
    es que v_{\theta} surge de resolver la ecuación de la energía para cada ángulo \theta entre 0 y \pi,

    para un ángulo \theta_1 especifico

    \frac12m v_B^2-\dst\int\limits_0^{\theta_1}\beta R^2 \left(mg\cos\theta+m\dfrac{v_{\theta}^2}{R}\...

    por lo que el valor numérico de la integral \dst\int\limits_0^{\theta_1}\beta R^2 m\dfrac{v_{\theta}^2}{R} R\dd \theta es definido por la introducción de una condición de contorno que relacione la integral de v_{\theta_1} con \theta_1....

    En general en la práctica lo que se hace es ir midiendo velocidades y ángulos para hallar un valor ponderado de \mu pero nadie puede afirmar a ciencia cierta que la expresión analitica del coeficiente de rozamiento en la curva se corresponda con \beta R^2 y con \beta(L^2-x^{2}), bueno o almenos eso es lo que creo sucede.

    En tal caso será hacer una serie de mediciones para hallar el area debajo de la curva v_{\theta_1}=f(\theta_1}) y relacionarla con el valor de \theta_1 para tener una función aproximada.

    o bien se puede usar algún método , que no me doy cuenta ahora, para resolver la ecuación diferencial ya que v_{\theta_1}=\omega_{\theta_1}R=\dfrac{\partial \theta_1}{\partial t}R
    Saludos \mathbb {R}^3

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