Secundaria Duda sobre interferencia de ondas

[RicardoF]

Tengo que resolver un problema de dos focos sonoros idénticos X e Y que emiten una frecuencia fija.

Condiciones:

-Desde un punto O equidistante de ambos no se detecta sonido alguno.
-Moviendonos del punto O a otro punto P , el nivel sonoro primero crece, alcanzando un máximo y luego se anula en P.
Dato: PX=2,5m PY=2m

Nos piden:

-Diferencia de fase de las ondas emitidas.
-Longitud de onda de las ondas emitidas.

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He estado haciendo pruebas con el Geogebra y creo que me daba una diferencia de fase de Pi radianes
y una longitud de onda de 0,5 m. Pero me gustaría saber si es correcto y cómo justificarlo.

Gracias por adelantado

[Richard R Richard]

Re: Duda sobre interferencia de ondas

Hola tocayo, la diferencia de fases es facil de conocerla, porque como dato te dicen que O es equidistante con X e Y como la frecuencia es unica,y la amplitud tambien, la intensidad del sonido en el punto O depende exclusivamente de la fase entre ambos.

el sonido que envia X es

$A_x=A\cos(\omega t+k\Delta x)$

y el que envia Y es

$A_y=A\cos(\omega t+k\Delta x+\phi)$

siendo \phi el desfase de la señal

cuando arriban a O las señales se suman

$A_o=A_x+A_y=A\cos(\omega t+k\Delta x)+A\cos(\omega t+k\Delta x+\phi)$

por la propiedad de los cosenos

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

reemplazando

$A_o=A\cos\left(\dfrac{\omega t+k\Delta x +\omega t+k\Delta x+\phi}{2}\right )\cos\left(\dfrac{\omega t+k\Delta x -\omega t-k\Delta x-\phi}{2}\right )$


$A_o=A\cos\left(\omega t+k\Delta x +\dfrac{\phi}{2}\right )\cos\left(\dfrac{-\phi}{2}\right )$

para que en O la suma de ondas sea nula en todo instante y posicion x arbitraria se debe cumplir que $\cos\left(\dfrac{-\phi}{2}\right )=0$ para lo cual $\phi=\pm\pi$


para la segunda parte toma de origen de sistema de referencia uno de los focos emisores.... Y por ejemplo la dirección y la pones en dirección al punto X (se pone engorroso pero usare minúsculas para expresar distancias y Mayúsculas para denominar puntos)

de modo que O te queda en la posición relativa de $(\dfrac{\sqrt3}2 |\overline{XY}|,\dfrac12 |\overline{XY}|)$ ya que $|\overline{XY}|=|\overline{XO}|=|\overline{YO}|$


para el punto P se debe cumplir

$|\overline{YP}|^2=x_P^2+y_P^2=(2m)^2$

tambien

$|\overline{XP}|^2=x_P^2+(|\overline{XY}|-y_P)^2=(2.5m)^2$

sabiendo que $\lambda^2=\lambda_x^2+\lambda_y^2$


y que se cumple que

$x_P+\lambda_x=\dfrac{\sqrt3}2 |\overline{XY}|$

$y_P+\lambda_y=\dfrac{1}2 |\overline{XY}|$

tienes las suficientes ecuaciones para hallar las incógnitas $x_P,y_P,\lambda_x\lambda_y$

de otro modo usa el teorema del coseno para obtener relaciones trigonométricas como

$\cos \gamma=\dfrac{|\overline{YP}|^2+|\overline{XP}|^2-|\overline{XY}|^2}{2|\overline{YP}||\overline{XP}|}$

$\cos \theta= \dfrac{x_P}{|\overline{YP}|}$

$\sin \theta= \dfrac{y_P}{|\overline{YP}|}$

$\cos \phi= \dfrac{x_P}{|\overline{XP}|}$

$\sin \phi= \dfrac{|\overline{XY}|-y_P}{|\overline{XP}|}$

con $\gamma=\theta+\phi$

usar las propiedades de suma de ángulos


$\cos \gamma=\cos (\theta \pm \phi)=\cos \theta \cdot \cos \phi \mp \sin \phi \cdot \sin \theta$

y tiene que salir

[RicardoF]

Re: Duda sobre interferencia de ondas

$y_1 = A\sin (\omega t + {{2\pi } \over \lambda }x_1 )$

$y_2 = A\sin (\omega t + {{2\pi } \over \lambda }x_2 + \pi )$

Una vez se sabe que el desfase es de Pi radianes. Sabiendo que cuando x1=2,5 m y x2=2m la diferencia de fase debe ser de Pi radianes para que la interferencia sea destructiva ¿no sería valido hacer esto?


$(\omega t + {{2\pi } \over \lambda }x_1 ) - (\omega t + {{2\pi } \over \lambda }x_2 + \pi ) = \pi$
${{2\pi } \over \lambda }(x_1 - x_2 ) = 2\pi$
$\lambda = (x_1 - x_2 ) = 2,5 - 2 = 0,5m$

[Richard R Richard]

Re: Duda sobre interferencia de ondas

$\lambda = (x_1 - x_2 ) = 2,5 - 2 = 0,5m$

esa interpretación sería correcta en parte, si el Punto P estuviera en la misma recta que une el Punto X con el Y

Pero como ves el punto P puede ser cualquiera que se ubique en la circunferencias azules de radio igual a la longitud de onda $\lambda$ , la direccion de los segmentos XP e YP tiene que ser similar a la dibujada , las circunferencias de radio $|\overline{XP}|$ y $|\overline{YP}|$ definen dos puntos de cruce para dos longitudes de onda diferentes, aunque solo he dibujado el de la más pequeña para no complicarlo aun mas...

otra forma de resolverlo es hallar los valores de x e y que satisfacen las siguientes ecuaciones de las tres circunferencias

$x_P^2+y_P^2=(2m)^2$

$x_P^2+(y_P-|\overline{XY}|)^2=(2.5m)^2$

$(x_P-\frac{\sqrt3}2|\overline{XY}|)^2+(y_P-\frac12|\overline{XP}|)^2=\lambda^2$


PD, dandole vueltas veo que si no tienes la distancia XY original el resultado tiene que quedar en función de esa distancia... lo cual es logico hago mas grande o pequeño el triangulo, dentro de cierto rango, y aunque las distancias a P pueden ser las mismas existirá un función que relacione la longitud de onda con el lado del triangulo.