Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

**inakigarber** · 05/02/2019, 23:36:21

Buenas noches;

Siguiendo adelante con la lectura de este blog, quisiera entender el desarrollo de la siguiente expresión relativa al desarrollo de la fórmula de la fuerza centrifuga.
Parte de la expresión cuyo desarrollo ya quedó claro en otro hilo;

$F=\dfrac{d}{dt}\left[\dfrac{m_o V}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}\right]$

pero me pierdo en el desarrollo siguiente ¿Por qué se debe aplicar la regla de la cadena en este caso?

¿es dimensionalmente correcta la expresión final que pone?
$F=\dfrac{m_o V}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}\dfrac{dV}{dt}+\dfrac{m_o }{\left(1-\dfrac{V \cdot...$

Buscando información en la wikipedia, encuentro una expresión parecida, por lo que he debido equivocarme;
Leyendo en dicha página indica que por lo general la fuerza y la aceleración no serán perfectamente paralelas. ¿Cómo puede ser esto? ¿Tiene esto algo que ver con el avance del perihelio de mercurio?

Saludos y gracias.
P.D. La expresión si es dimensionalmente correcta.

**Ulises7** · 06/02/2019, 08:42:31

La expresión no es dimensionalmente correcta y es el mismo motivo por el cual tu expresión es incorrecta y no coincide con la wikipedia.

Se aplica regla de la cadena porque la velocidad está tanto en el numerador como denominador, en el primer término en el numerador te sobra una V, por lo demás está bien.

En tu expresión no es evidente que no siempre sean paralelas la aceleración y la fuerza, pero si recuperas el carácter vectorial de la ecuación, obtendrás dos condiciones de paralelismo de a con F y en todos los demás casos a y F no son paralelas porque en la expresión de la fuerza tienes un producto escalar de dos vectores no paralelos (v y a) que está incluido en el segundo término y este producto producirá una fuerza con un ángulo dada por la proyección de ambos vectores.

Desconozco el cálculo de la corrección del perihelio de Mercurio, pero es de suponer que esta fuerza modificada de la mecánica clásica implique unos cambios en las órbitas a partir de ciertos valors de v y a.

**Alriga** · 06/02/2019, 09:46:35

Escrito por inakigarber

... Siguiendo adelante con la lectura de Dinámica relativista, quisiera entender el desarrollo de la siguiente expresión relativa al desarrollo de la fórmula de la fuerza centrifuga.
Parte de la expresión cuyo desarrollo ya quedó claro en otro hilo;

$F=\dfrac{d}{dt}\left[\dfrac{m_o V}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}\right]$

pero me pierdo en el desarrollo siguiente ¿Por qué se debe aplicar la regla de la cadena en este caso?

En la expresión

$\large f(V)=\dfrac{m_o V}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}$

El tiempo no aparece explícitamente, aparece V que es V(t). Por lo tanto si queremos derivar esa expresión respecto del tiempo, hay que aplicar la regla de la cadena:

$\dfrac{d\large f(V)}{dt}=\dfrac{d\large f(V)}{dV}\cdot \dfrac{dV}{dt}$

Escrito por inakigarber

... ¿es dimensionalmente correcta la expresión final que pone?

$F=\dfrac{m_o V}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}\dfrac{dV}{dt}+\dfrac{m_o }{\left(1-\dfrac{V \cdot...$

En el blog está bien, pero tú la has deducido o copiado mal, te sobra una "V", lo correcto es:

$F=\dfrac{m_o \ \cancel V}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}\dfrac{dV}{dt}+\dfrac{m_o }{\left(1-\dfr...$

Escrito por inakigarber

... Buscando información en la wikipedia, encuentro una expresión parecida, por lo que he debido equivocarme;

Así es, te sobra una "V" como te he dicho

Escrito por inakigarber

... Leyendo en dicha página indica que por lo general la fuerza y la aceleración no serán perfectamente paralelas. ¿Cómo puede ser esto?...

La Relatividad es así. Matemáticamente, en el caso Newtoniano al derivar la cantidad de movimiento, derivas una constante (m) por la velocidad mientras que en el caso relativista ya no derivas una constante por la velocidad, derivas una expresión no lineal de la velocidad. Desde el punto de vista físico, observa que si haces una fuerza sobre la partícula móvil en la misma dirección y sentido que la velocidad, cuesta conseguir aceleración, (si la velocidad de la partícula es cercana a la de la luz mucha fuerza provoca poca aceleración). Esa misma fuerza aplicada perpendicularmente a la velocidad consigue en cambio una gran aceleración. Por ello no te extrañe que para el caso intermedio (fuerza ni paralela ni perpendicular a la velocidad) la partícula sufra una aceleración que no es en la misma dirección que la fuerza, puesto que al descomponer la fuerza en las 2 componentes, cada componente tiene un efecto (aceleración) diferente.

Escrito por inakigarber

... ¿Tiene esto algo que ver con el avance del perihelio de Mercurio?

A priori nada en absoluto. Para estudiar la órbita de Mercurio se usa la Métrica de Schwarzschild que es una solución de las ecuaciones de Campo de la Relatividad General para el espacio vacío externo a una distribución de masa con simetría esférica .

Saludos.

NOTA1: Mientras yo escribía mi rollazo, veo que Ulises7 ha contestado, saludos Ulises7

NOTA2: Iñaki, seguramente te interesará repasar este hilo: Duda sobre la fuerza en mecánica relativista

**inakigarber** · 06/02/2019, 21:56:41

Escrito por Alriga

...
En el blog está bien, pero tú la has deducido o copiado mal, te sobra una "V", lo correcto es:

$F=\dfrac{m_o \ \cancel V}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}\dfrac{dV}{dt}+\dfrac{m_o }{\left(1-\dfr...$

Así es, te sobra una "V" como te he dicho..

El blog comete un error, si bien donde donde dice"Finalmente, obtenemos la expresión que estábamos buscando:" aparece la expresión correcta. Más adelante, expone el caso de una partícula eléctrica sometida a la fuerza de Lorentz, al hacer el desarrollo donde dice "A continuación tomamos la derivada aplicando la regla de la cadena:" aparece una expresión equivocada.
En el numerador del primer sumando sobra esa V, como bien habéis aclarado. Luego partía de una fórmula equivocada.

Lo que de momento no consigo entender es cómo de la expresión;
$F=\dfrac{d}{dt}\left[\dfrac{m_o V}{\sqrt{1-\dfrac{V \cdot V}{c^2}}}\right]$
se alcanza a llegar a la expresión;
$F=\dfrac{m_o a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}+\dfrac{m_o a V^2}{\left[1-\dfrac{V\cdot V}{c^2} \...$
Creo que he vuelto a descubrir que soy bastante necio. !!!Si en el fondo es la misma expresión¡¡¡¡, por lo que veo, si se trata de un caso en que la dirección de la velocidad y la aceleración coinciden, entonces puedo utilizar;
$F=\dfrac{m_o a}{\left[1-\dfrac{V^2}{c^2}\right]^{3/2}}$
Pero cuando se trata de que ambos vectores no coinciden (nuestro caso de la fuerza de Lorentz o el de una fuerza centrífuga por ejemplo)
debo quedarme con;
$F=\dfrac{m_o a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}+\dfrac{m_o V\cdot a \cdot V}{c^2\left(1-\dfrac{V\...$
P.D.
Creo que sería más apropiado expresarlo de esta manera;
$F=\dfrac{m_o a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}+\dfrac{|m_o V^2\ \ a\ \ cos(\theta)|}{c^2\left(1-...$
Donde $\theta$ representa el ángulo entre los vectores velocidad y aceleración.
¿Sería esto correcto?

Saludos.

**Alriga** · 07/02/2019, 09:02:23

Escrito por inakigarber

... Creo que sería más apropiado expresarlo de esta manera;

$F=\dfrac{m_o a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}+\dfrac{|m_o V^2\ \ a \ \cos \theta)|}{c^2\left(1-...$

Donde $\theta$ representa el ángulo entre los vectores velocidad y aceleración.
¿Sería esto correcto? ...

No, tu nomenclatura es incoherente. Primero, en esa expresión, si aparece el módulo de algo $|m_o V^2\ \ a \ \cos\theta|$ ello debe significar que lo que hay dentro de las líneas verticales de módulo es un vector $|\vec u|$ Lo único que puede ser un vector en la expresión $|m_o V^2\ \ \vec a \ \cos \theta |$ es la aceleración $\vec a$ que al hacer el módulo de la expresión, toda la expresión se convierte en un escalar. Eso convierte en escalar todo el sumando:

$\dfrac{|m_o V^2\ \ \vec a \ \cos \theta |}{c^2\left(1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}\right)^{3/2}} \in \ma...$

Pero entonces, si "a" representa al vector aceleración el otro sumando es un vector:

$\dfrac{m_o \ \vec a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}} \in \mathbb R^3$

Y no se puede sumar un vector con un escalar. Si operas correctamente debes llegar a la expresión que te dio pod:

Escrito por pod

... cuando se trata con vectores ... En particular, ten en cuenta que la derivada del cuadrado de un vector se debe hacer como la derivada de un producto escalar, $\frac{\dd}{\dd t} v^2 = \frac{\dd}{\dd t} (\vec v \cdot \vec v) = 2 \ \vec v \cdot \vec a$ . El resultado (lo tienes en los formularios que te puse) seria similar a

$\boxed{\vec F = m \gamma \vec a + \dfrac 1{c^2} m \gamma^3 (\vec v \cdot \vec a) \vec v}$

Este es uno de los resultados sorprendentes de la relatividad. Resulta que la aceleración no es paralela a la fuerza que la causa (excepto en el caso unidimensional que hicimos antes; en general, la aceleración será paralela a la fuerza si ésta lo es a la velocidad). Además, tampoco hay una constante de proporcionalidad que relacione la fuerza y la aceleración; la relación entre fuerza y aceleración causada es muy complicada, depende de la velocidad y de la dirección de la fuerza.

Y ahora si llamas $\theta$ al ángulo entre los vectores velocidad y aceleración, puedes escribir:

$\vec F = m \gamma \ \vec a + \dfrac 1{c^2} m \gamma^3 \ (v \cdot a \cdot \cos \theta) \ \vec v$

Saludos.

**inakigarber** · 07/02/2019, 22:18:02

Escrito por Alriga

No, tu nomenclatura es incoherente. Primero, en esa expresión, si aparece el módulo de algo $|m_o V^2\ \ a \ \cos\theta|$ ello debe significar que lo que hay dentro de las líneas verticales de módulo es un vector $|\vec u|$ Lo único que puede ser un vector en la expresión $|m_o V^2\ \ \vec a \ \cos \theta |$ es la aceleración $\vec a$ que al hacer el módulo de la expresión, toda la expresión se convierte en un escalar. Eso convierte en escalar todo el sumando:

$\dfrac{|m_o V^2\ \ \vec a \ \cos \theta |}{c^2\left(1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}\right)^{3/2}} \in \ma...$

Pero entonces, si "a" representa al vector aceleración el otro sumando es un vector:

$\dfrac{m_o \ \vec a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}} \in \mathbb R^3$

Y no se puede sumar un vector con un escalar....

Gracias por tu respuesta, tus argumentos són incuestionables.
Luego el factor $(v \cdot a \cdot \cos \theta) \ \vec v$ , es un vector que se expresa en unidades de aceleración por velocidad al cuadrado.

Me resulta aún chocante que los vectores fuerza y aceleración puedan no ser paralelos. Eso conduciría a la paradoja de que empujáramos un objeto relativista con una fuerza y se moviera en una dirección distinta a la de la fuerza. Lo cual me resulta muy difícil de visualizar. Desde el sistema de referencia de un observador en reposo que viera un objeto relativista sobre el cual opera una fuerza oblicua a este (es decir formando un ángulo que ni fuera nulo ni perpendicular) dicho observador pareciera poder deducir la existencia de una segunda fuerza invisible a esta. (Creo que no me he expresado con mucha claridad, pero no veo forma mejor de hacerlo).

**Alriga** · 08/02/2019, 10:34:03

Escrito por inakigarber

... Me resulta aún chocante que los vectores fuerza y aceleración puedan no ser paralelos. Eso conduciría a la paradoja de que empujáramos un objeto relativista con una fuerza y se moviera en una dirección distinta a la de la fuerza. Lo cual me resulta muy difícil de visualizar. Desde el sistema de referencia de un observador en reposo que viera un objeto relativista sobre el cual opera una fuerza oblicua a este (es decir formando un ángulo que ni fuera nulo ni perpendicular) dicho observador pareciera poder deducir la existencia de una segunda fuerza invisible a esta. (Creo que no me he expresado con mucha claridad, pero no veo forma mejor de hacerlo).

En cambio, a mí me extraña que eso te extrañe. Pero si reflexionas te darás cuenta que, con tus conocimientos actuales de Relatividad, ya tienes interiorizado que eso debe ser así como consecuencia de que, conforme una partícula tiene velocidad próxima a la de la luz, más y más difícil es aumentar su velocidad en esa dirección. Ya sabes que:

1. Si sobre una partícula de masa “m” parada hago una fuerza “F”, ésta responde con una aceleración “a”

$a=\dfrac F m$

2. Mientras que, si sobre una partícula de masa “m” y velocidad “v” hago una fuerza “F” en la misma dirección que la velocidad, la partícula sufre una aceleración “a”

$a=\dfrac F{m \ \gamma^3} < \dfrac F m$

¿De aquí deduces “la existencia de una segunda fuerza invisible” que se opone a la fuerza “F” que tú aplicas? No creo

Ésto, que se dé (1) y (2), es lo difícil de asumir si se piensa en newtoniano. Pero si se asume que así debe ser, -que la misma fuerza produce aceleraciones diferentes según se aplique a estados diferentes de movimiento de la partícula porque la velocidad de la luz es inalcanzable-, no es de extrañar que la aceleración con la que responde una partícula a una fuerza no esté en la misma dirección que la fuerza.

Vamos a poner un ejemplo numérico que intentará ser ilustrativo: sea una partícula de masa m=1 que se mueve en el plano según el eje x positivo a una velocidad de 0.86603c. Uso un sistema de unidades en el que c=1

$\vec v=0.86603 \ \hat i + 0 \ \hat j$

$\gamma =\dfrac{1}{\sqrt{1-0.86603^2}}= 2$

Aplicamos sobre ella una fuerza F de módulo 11.3137 que forma un ángulo de 45º con la velocidad:

$\vec F=8 \ \hat i + 8 \ \hat j$

¿Qué aceleración provoca? Apliquemos la ecuación de la fuerza en Relatividad Especial:

$\boxed{\vec F = m \ \gamma \ \vec a + \dfrac m{c^2} \ \gamma^3 \ (\vec v \cdot \vec a) \ \vec v}$

Sustituyendo:

$\vec F =2 \vec a + 8 \ (0.86603 \ \hat i \cdot \vec a) \ 0.86603 \ \hat i$

$\vec F =2 \ (a_x \ \hat i + a_y \ \hat j) + 8 \ \Big (0.86603 \ \hat i \cdot (a_x \ \hat i + a_y ...$

$\vec F =2 a_x \ \hat i + 2 a_y \ \hat j + 8 \ (0.86603 a_x) \ 0.86603 \ \hat i$

$\vec F =2 a_x \ \hat i + 2 a_y \ \hat j + 8 \cdot 0.75 a_x \ \hat i=2 a_x \ \hat i + 2 a_y \ \hat...$

$\vec F =8 a_x \ \hat i + 2 a_y \ \hat j$

Sustituyendo el valor de la fuerza de módulo 11.3137 a 45º :

$8 \ \hat i + 8 \ \hat j=8 \ a_x \ \hat i + 2 \ a_y \hat j$

De donde se deduce:

$a_x=1 \qquad a_y=4 \qquad \theta=75.96\º \qquad a=4.1231$

La componente de la aceleración perpendicular a la velocidad es 4 veces mayor que la componente paralela. El módulo de la aceleración a=4.1231 es menor que F/m=11.3137 y el ángulo de la aceleración no coincide con los 45º de la fuerza, sino que es de 75.96º (ver dibujo en post#9)

Todo muy lógico según la Relatividad

Saludos.

**inakigarber** · 08/02/2019, 23:52:18

Gracias por tu respuesta;
Aún no he leído tu respuesta, pero esta mañana he estado dándole algunas vueltas al tema,
He visualizado un esquema como este, (a ver si voy acercándome a la realidad)
Nombre: Suma relativista de fuerzas.gif
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Tamaño: 2,7 KB

Nombre: Suma relativista de fuerzas.gif
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En el que F1 representaría el primer sumando de la fuerza, es decir; $F_1=\dfrac{m_o a}{\sqrt{1-\dfrac{V\cdot V}{c^2}}}$ y que tiene la dirección de la aceleración,
y F2 representaría al segundo sumando, es decir, $F_2=\dfrac{m_o a V^2}{\left[1-\dfrac{V\cdot V}{c^2} \right]^{3/2}c^2}$ y que tiene la misma dirección que la velocidad.

- - - Actualizado - - -

Escrito por Alriga

....Ésto, que se dé (1) y (2), es lo difícil de asumir si se piensa en newtoniano. Pero si se asume que así debe ser, -que la misma fuerza produce aceleraciones diferentes según se aplique a estados diferentes de movimiento de la partícula porque la velocidad de la luz es inalcanzable-, no es de extrañar que la aceleración con la que responde una partícula a una fuerza no esté en la misma dirección que la fuerza.....

Es que pienso en Newtoniano, ese ha sido mi problema.
La clave está en aceptar que no solo la dirección de la fuerza, sino también su módulo dependen de la velocidad del observador.
Echaré un vistazo al problema que propones.

- - - Actualizado - - -
Acabo de ver el ejemplo que me has puesto, voy a intentarlo yo mismo, a ver si sale.
Supongamos que una fuerza de valor F=15 Nw y con un ángulo 0, opera sobre uno objeto de masa m=10 Kg que se desplaza a velocidad V=0.5c_i;0.5c_j

.

módulo de la velocidad $V=\sqrt{0.5^2+0.5^2}=0.7071c$
$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{(0.7071c)^2}{c^2}}}=\sqrt{2}$
Aplicando;
$\boxed{\vec F = m \ \gamma \ \vec a + \dfrac m{c^2} \ \gamma^3 \ (\vec v \cdot \vec a) \ \vec v}$
$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+\dfrac{10}{c^2}(\sqrt{2})^3\left[(0.5c_i;0.5c_j)(a_i;a_j)(0.5c_i;0.5...$

$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+\dfrac{10}{c^2}(\sqrt{2})^3\left[(0.25c^2i^2a_i;);(0.25c^2j^2a_j) \r...$
En el producto punto i^2=j^2=1

$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+\dfrac{10}{c^2}(\sqrt{2})^3\left[(0.25c^2a_i);(0.25c^2a_j) \right]$

$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+10(\sqrt{2})^3\left[(0.25a_i;0.5c_j);(0.25a_j) \right]$
ordenando y sumando, me queda;

$15i=15\sqrt{2}a_1;0=15\sqrt{2}a_j$
Esto me da una aceleración $a_i=1/\sqrt{2};a_j=0$ , pero creo que no es correcto.

**Alriga** · 10/02/2019, 11:49:53

Escrito por inakigarber

... La clave está en aceptar que no solo la dirección de la fuerza, sino también su módulo dependen de la velocidad del observador ...

Es que eso se ve muy claro en el ejemplo que hemos puesto:

Escrito por Alriga

... Vamos a poner un ejemplo numérico que intentará ser ilustrativo: sea una partícula de masa m=1 que se mueve en el plano según el eje x positivo a una velocidad de 0.86603c. Uso un sistema de unidades en el que c=1

$\vec v=0.86603 \ \hat i + 0 \ \hat j$

$\gamma =\dfrac{1}{\sqrt{1-0.86603^2}}= 2$

Aplicamos sobre ella una fuerza F de módulo 11.3137 que forma un ángulo de 45º con la velocidad:

$\vec F=8 \ \hat i + 8 \ \hat j$

¿Qué aceleración provoca? Apliquemos la ecuación de la fuerza en Relatividad Especial ...

$a_x=1 \qquad a_y=4 \qquad \theta=75.96\º \qquad a=4.1231$

La componente de la aceleración perpendicular a la velocidad es 4 veces mayor que la componente paralela. El módulo de la aceleración a=4.1231 es menor que F/m=11.3137 y el ángulo de la aceleración no coincide con los 45º de la fuerza, sino que es de 75.96º ...

* La componente de la fuerza en la dirección y sentido de la velocidad tiene módulo F_x=8

y provoca una aceleración en la partícula, de módulo a_x=1

* Mientras que la componente de la fuerza en dirección perpendicular a la velocidad, aunque también tiene el mismo módulo F_y=8

provoca una aceleración en la partícula, de módulo a_y=4

Nombre: Relativ F a.png
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En el gráfico la partícula está en el origen de coordenadas. Como la masa de la partícula es m = 1, en el caso newtoniano la aceleración sería $a_x=8 \quad a_y=8$ , mayor en módulo que en el caso relativista ( 11.3137 > 4.1231

) y estaría en la misma dirección que la fuerza aplicada.

Escrito por inakigarber

... Acabo de ver el ejemplo que me has puesto, voy a intentarlo yo mismo, a ver si sale.
Supongamos que una fuerza de valor F=15 Nw y con un ángulo 0, opera sobre uno objeto de masa m=10 Kg que se desplaza a velocidad V=0.5c_i;0.5c_j

.

módulo de la velocidad $V=\sqrt{0.5^2+0.5^2}=0.7071c$
$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{(0.7071c)^2}{c^2}}}=\sqrt{2}$
Aplicando;
$\boxed{\vec F = m \ \gamma \ \vec a + \dfrac m{c^2} \ \gamma^3 \ (\vec v \cdot \vec a) \ \vec v}$
$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+\dfrac{10}{c^2}(\sqrt{2})^3\left[(0.5c_i;0.5c_j)(a_i;a_j)(0.5c_i;0.5...$
$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+\dfrac{10}{c^2}(\sqrt{2})^3\left[(0.25c^2i^2a_i;);(0.25c^2j^2a_j) \r...$
En el producto punto i^2=j^2=1

$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+\dfrac{10}{c^2}(\sqrt{2})^3\left[(0.25c^2a_i);(0.25c^2a_j) \right]$
$15(i;0j)=10\sqrt{2}(a_i;a_j)+10(\sqrt{2})^3\left[(0.25a_i;0.5c_j);(0.25a_j) \right]$
ordenando y sumando, me queda;
$15i=15\sqrt{2}a_1;0=15\sqrt{2}a_j$
Esto me da una aceleración $a_i=1/\sqrt{2};a_j=0$ , pero creo que no es correcto ...

En el ejemplo que yo he puesto he elegido la geometría y los valores para que fuese ilustrativo. En tu ejemplo, es más fácil equivocarse. Creo que, (si no me equivoco en los cálculos yo también), al igualar componentes "x" con componentes "x", y componentes "y" con componentes "y" de ambos lados de la igualdad se obtiene este sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, que es el que debes resolver:

$15=10\sqrt 2 \ a_x+2.5(\sqrt 2)^3 (a_x+a_y)$

$0=10\sqrt 2 \ a_y+2.5(\sqrt 2)^3}(a_x+a_y)$

Saludos.

**inakigarber** · 10/02/2019, 19:19:39

Gracias por tu respuesta y por tu tiempo.

Escrito por Alriga

..
* La componente de la fuerza en la dirección y sentido de la velocidad tiene módulo F_x=8

y provoca una aceleración en la partícula, de módulo a_x=1

* Mientras que la componente de la fuerza en dirección perpendicular a la velocidad, aunque también tiene módulo F_y=8

provoca una aceleración en la partícula, de módulo a_y=4

En el ejemplo que yo he puesto he elegido la geometría y los valores para que fuese ilustrativo. En tu ejemplo, es más fácil equivocarse. Creo que, (si no me equivoco en los cálculos yo también), al igualar componentes "x" con componentes "x", y componentes "y" con componentes "y" de ambos lados de la igualdad se obtiene este sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, que es el que debes resolver:

La solución gráfica al problema que tu me propusiste, sería esta;

Haz click en la imagen para ampliar.

Nombre: Solución relativista.gif
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Tamaño: 30,4 KB
ID: 14129

De lo que tú me dices, se deduce que el gráfico que puse en un post anterior era equivocado.

**Alriga** · 11/02/2019, 10:59:08

Escrito por inakigarber

... La solución gráfica al problema que tu me propusiste, sería esta;

Sí, similar. Con las unidades que yo he utilizado, he añadido el gráfico a escala en el post#9.

Saludos.

**inakigarber** · 11/02/2019, 23:30:56

Escrito por Alriga

….En el ejemplo que yo he puesto he elegido la geometría y los valores para que fuese ilustrativo. En tu ejemplo, es más fácil equivocarse. Creo que, (si no me equivoco en los cálculos yo también), al igualar componentes "x" con componentes "x", y componentes "y" con componentes "y" de ambos lados de la igualdad se obtiene este sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, que es el que debes resolver:

$15=10\sqrt 2 \ a_x+2.5(\sqrt 2)^3 (a_x+a_y)$

$0=10\sqrt 2 \ a_y+2.5(\sqrt 2)^3}(a_x+a_y)$

Saludos.

Resolviendo, me sale;
$a_x=\dfrac{11,25}{10\sqrt{2}}$

$a_y=\dfrac{-7,5}{20\sqrt{2}}$

$(a_x+a_y)=\dfrac{15}{20\sqrt{2}}$

Así si me sale, pero me asalta una duda que no consigo aclarar;
Si dividimos el sistema en dos ecuaciones, una sobre el eje x y otra sobre el eje y ¿Por qué en el segundo término debo introducir el término (a_x+a_y)

en ambas ecuaciones?
Supongo que debe ser una tontería, pero no consigo entenderlo.

Saludos y gracias.

**Alriga** · 12/02/2019, 09:25:54

Escrito por Alriga

... En tu ejemplo, ... Creo que, (si no me equivoco en los cálculos yo también), al igualar componentes "x" con componentes "x", y componentes "y" con componentes "y" de ambos lados de la igualdad se obtiene este sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, que es el que debes resolver:

$15=10\sqrt 2 \ a_x+2.5(\sqrt 2)^3 (a_x+a_y)$

$0=10\sqrt 2 \ a_y+2.5(\sqrt 2)^3}(a_x+a_y)$

Sí, la solución de ese sistema de ecuaciones es la que tú dices:

$a_x=\dfrac{9}{8\sqrt{2}}$

$a_y=-\dfrac{3}{8\sqrt{2}}$

$\vec a = \dfrac{9}{8\sqrt{2}}\ \hat i - \dfrac{3}{8\sqrt{2}} \ \hat j$

$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\dfrac {3\sqrt 5}8$

Escrito por inakigarber

... Así sí me sale, pero me asalta una duda que no consigo aclarar;
Si dividimos el sistema en dos ecuaciones, una sobre el eje x y otra sobre el eje y ¿Por qué en el segundo término debo introducir el término (a_x+a_y)

en ambas ecuaciones? ...

Eso está muy mal expresado,

tú no "debes introducir" nada. Simplemente, al sustituir los valores numéricos de la Fuerza y de la Velocidad de tu ejemplo, en la ecuación vectorial de la Fuerza Relativista:

$\vec F = m \ \gamma \ \vec a + \dfrac m{c^2} \ \gamma^3 \ (\vec v \cdot \vec a) \ \vec v$

aparece este factor:

$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v$

$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v=\Big ( (0.5 c \ \hat i+0.5 c \ \hat j) \cdot (a_x \ \hat i+a_y \ \...$

Haciendo operaciones:

$=(0.5 c \ a_x+0.5 c \ a_y) \ (0.5 c \ \hat i+0.5 c \ \hat j)=0.25 c^2 (a_x+a_y) \ (\hat i+\hat j)$

$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v=0.25 c^2 (a_x+a_i) \ \hat i + 0.25 c^2 (a_x+a_y) \ \hat j$

El producto escalar de la velocidad por la aceleración, ha provocado que aparezca el escalar

afectando a ambas coordenadas, nada misterioso, ya que es una simple consecuencia de las operaciones en este caso numérico particular. La ecuación vectorial completa queda:

$15 \ \hat i=10\sqrt 2 \ (a_x \ \hat i+a_y \ \hat j)+2.5 (\sqrt 2)^3 \ (a_x+a_i) \ \hat i + 2.5 (\...$

$15 \ \hat i=\Big (10\sqrt 2 \ a_x+2.5(\sqrt 2)^3 (a_x+a_y)\Big ) \ \hat i + \Big (10\sqrt 2 \ a_y...$

Saludos.

**inakigarber** · 12/02/2019, 21:59:42

Gracias por tu gran paciencia conmigo;

Escrito por Alriga

...Eso está muy mal expresado,

tú no "debes introducir" nada. Simplemente, al sustituir los valores numéricos de la Fuerza y de la Velocidad de tu ejemplo, en la ecuación vectorial de la Fuerza Relativista:

$\vec F = m \ \gamma \ \vec a + \dfrac m{c^2} \ \gamma^3 \ (\vec v \cdot \vec a) \ \vec v$

aparece este factor:

$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v$

$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v=\Big ( (0.5 c \ \hat i+0.5 c \ \hat j) \cdot (a_x \ \hat i+a_y \ \...$

Haciendo operaciones:

$=(0.5 c \ a_x+0.5 c \ a_y) \ (0.5 c \ \hat i+0.5 c \ \hat j)=0.25 c^2 (a_x+a_y) \ (\hat i+\hat j)$

$(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v=0.25 c^2 (a_x+a_i) \ \hat i + 0.25 c^2 (a_x+a_y) \ \hat j$

El producto escalar de la velocidad por la aceleración, ha provocado que aparezca el escalar

afectando a ambas coordenadas, nada misterioso, ya que es una simple consecuencia de las operaciones en este caso numérico particular. La ecuación vectorial completa queda:

...

Si, tienes razón está muy mal expresado, pero no encontraba "mejor" forma de hacerlo, la clave de la cuestión está en que en $(\vec v \cdot \vec a) \ \vec v$ tengo dentro del paréntesis el producto escalar de dos vectores, lo cual es un escalar (por mucho que me empeñe en no entenderlo

), que al multiplicarlo nuevamente por el $\vec v$ afecta a ambos componentes del vector resultante.

Creo que como castigo debería proponerme cien problemas de cálculo de fuerzas relativistas.

Ya a modo de curiosidad, supongo que en un caso de magnitudes tridimensionales sería cuestión de resolver tres ecuaciones $a_x;\ \ a_y; a_z\ \$ en las que aparecería el escalar (a_x+a_y+a_z)

.

**Alriga** · 13/02/2019, 09:11:52

Escrito por inakigarber

Ya a modo de curiosidad, supongo que en un caso de magnitudes tridimensionales sería cuestión de resolver tres ecuaciones $a_x; \ a_y; \ a_z$ en las que aparecería el escalar (a_x+a_y+a_z)

sería en un caso particular. El escalar que aparecerá siempre multiplicando al vector velocidad es en general:

$\dfrac m{c^2} \gamma^3 \ \vec v \cdot \vec a=\boldsymbol{ \left ( \dfrac m{c^2} \gamma^3 \ v_x a_...$

Saludos.