electrostática: distribución lineal e indefinida de carga

**China** · 09/02/2019, 12:15:21

Buenas, he estado mirando el campo que genera una distribución lineal e indefinida de carga en un punto P que está a una distancia R de dicho hilo. La descomposición de dE en el eje X e Y se puede hacer en función de dos ángulos... y en teoría el valor del campo total en ese punto que corresponde a las componentes Y, puesto que las componentes X se anulan por simetría, entiendo que debería ser el mismo, independientemente del ángulo usado, sin embargo...obtengo resultados del mismo valor absoluto y distinto signo. No debería ser igual?

**Ulises7** · 09/02/2019, 12:24:12

Como no expongas detalladamente qué angulos estás usando para determinar las expresiones del campo vectorial poco podremos hacer para entender tu pregunta...

También se agradecería que plantearas mejor el problema porque depende cómo plantees los ejes los resultados son opuestos (simetría respecto a x o respecto a y).

Un consejo, si utilizas Gauss todos estos problemas con simetrías indefinidas son mucho más sencillos porque no tienes que resolver integrales vectoriales, son integrales escalares directas si escoges la superfície gaussiana correcta, en este caso sería un cilindro y verás que el campo te sale fácil y directo. Aunque si en el exámen te piden que uses explícitamente el principio de superposición entonces sí, dale caña a hacerlo paso por paso.

**China** · 09/02/2019, 12:33:05

Es que si pudiera poner el dibujo... pero no se pueden poner dibujos no??

**Al2000** · 09/02/2019, 12:38:03

Si que puedes. Te invito a leer Cómo adjuntar imágenes, y otros archivos, en los mensajes.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

**China** · 09/02/2019, 12:56:38

Si lo calculo con el angulo del dibujo da una cosa y si uso el angulo formado por x y r da el mismo modulo y opuesto. El campo da lambda partido de 2 pi epsilon R

**Al2000** · 09/02/2019, 16:19:15

Usando el ángulo $\theta$ tienes el campo

$E = E_y = \int dE\, \cos \theta = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0}\int \! \frac {dx} {r^2}\,\cos...$

Para resolver esa integral debes elegir con cuál de las tres variables quieres trabajar. En principio deberías poder expresar la integral en función de cualquiera de ellas o incluso de alguna variable nueva, como es común cuando se hace algún cambio de variables conveniente.

Si decides integrar en función de

, entonces harías el cambio

$\cos \theta = \frac R r$

$r = \sqrt {R^2 + x^2}$

e integrarías desde $x \to - \infty$ hasta $x \to \infty$ . Si decides usar el ángulo (el camino más sencillo en este caso), harías el cambio

$r = R\, \sec \theta$

$x = R\, \tan \theta \quad \Rightarrow \quad dx = R \sec^2 \theta \, d \theta$

e integrarías desde $\theta \to -\pi /2$ hasta $\theta \to \pi/2$ . Haciéndolo de esta manera concluyes que

$E = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \! \frac {R \sec^2 \theta\, d \theta ...$

Pero si decides usar el otro ángulo (lo llamaré $\varphi$ ), deberías hacer el cambio

$E = E_y = \int dE\, \, \mathrm {sen} \, \varphi = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0}\int \! \frac...$

$r = R\, \csc \varphi$

$x = R\, \cot \varphi \quad \Rightarrow \quad dx = - R \csc^2 \varphi \, d \varphi$

e integrarías desde $\varphi \to \pi$ hasta $\varphi \to 0$ . Haciéndolo de esta manera concluyes que

$E = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0}\int_\pi^0 \! \frac {-R \csc^2 \varphi \, d \varphi } {R^2...$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

**JCB** · 09/02/2019, 16:21:34

Hola a todos.

- Por trigonometría: $dx=rd\theta$ , y $r=\dfrac{R}{cos\theta}$ .

- Campo eléctrico a partir de la ley de Coulomb (https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico):

$dE=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{dq}{r^2}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\lambda dx}{r^2}=\dfr...$ .

$E=\dfrac{\lambda}{4\pi\epsilon_0R}\dst\int_{-90^{\circ}}^{90^{\circ}}cos\theta d\theta=\dfrac{\la...$

Saludos cordiales,
JCB.

PD: acabo de ver que Al2000 ha respondido simultáneamente. Saludos Al2000.

**China** · 10/02/2019, 08:22:29

Gracias a todos, ya vi cual es el fallo, Al2000, en el 2º caso usas limites de integración entre $\pi$ y 0 y yo los pongo al revés.. ese es el problema... por que los usas así??

**JCB** · 10/02/2019, 11:02:42

Hola a todos.

China, si hacemos lo que dice Ulises7, obtendríamos:

$\oint\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\dfrac{Q}{\epsilon_0}$ ,

$E2\pi Rx=\dfrac{\lambda x}{\epsilon_0}$ , (

menos mal que x se anula, porqué es $\infty$ )

$E=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0R}$ .

Saludos cordiales,
JCB.

**Al2000** · 10/02/2019, 13:40:13

Escrito por China

..,Al2000, en el 2º caso usas limites de integración entre $\pi$ y 0 y yo los pongo al revés.. ese es el problema... por que los usas así??

Debes integrar en el sentido creciente de la coordenada de los elementos de carga. Fíjate en los valores que toma el ángulo para los límites en la variación de

, bien sea observando el gráfico mismo o bien usando el cambio de variables empleado. Cuando $x \to - \infty, \quad \varphi \to \pi$ y en el otro extremo, cuando $x \to \infty , \quad \varphi \to 0$ .

Saludos,

$\mathcal A \ell$

**JCB** · 10/02/2019, 13:43:03

Por cierto, Al2000, ¿ es correcta mi consideración $dx=rd\theta$ ?.

Gracias,
JCB.

**Al2000** · 10/02/2019, 18:16:10

No, $r\,d \theta$ corresponde a la base del triángulo rectángulo de hipotenusa

. Habría que proyectar ese

sobre el arco trazado con

constante y si haces un esquema de la situación verás que el ángulo es precisamente $\theta$ con lo cual te quedaría que $(dx) \cos \theta = r\, d \theta$ , es decir que $dx = r \sec \theta \, d \theta$ .

Yo vi la discrepancia pero se me olvidó comentarla. Nota que hasta ahora has obtenido que $\dst dE = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0} \frac {\sec \theta } r\, d \theta$ . Para eliminar

deberás sustituir $r = R \sec \theta$ para obtener que $\dst dE = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0 R}\, d \theta$ . Finalmente deberás proyectar el campo sobre el eje Y para finalmente obtener que $\dst dE_y = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0 R} \cos \theta \, d \theta$ .

Y así se completa el círculo

Parte de la dificultad de tratar de relacionar

con $\theta$ metiendo

en el embrollo es que

no es constante, lo cual te dificulta hallar la relación. Tu podrías escribir, a partir del esquema, que $x = r \, \mathrm {sen} \, \theta$ , lo cual es absolutamente correcto, pero para obtener

te enfrentas a la necesidad de derivar

y se empieza a enturbiar el asunto. Por eso es que usas el otro lado del triángulo y escribes que $x = R \tan \theta$ la cual es fácil de derivar pues

es una constante.

Bueno, perdón por el rollo. Saludos,

$\mathcal A \ell$

**JCB** · 10/02/2019, 19:10:39

Al2000, has sido muy clarificador: vaya metedura de pata que he hecho. O sea que, solo gracias a la casualidad, he llegado a la expresión correcta en mi post #7. Muchas gracias Al2000 por deshacer el entuerto. Mira que si no fuera por vosotros los expertos, la cantidad de barbaridades que podría llegar uno a escribir… Mis disculpas a China por las inexactitudes que, involuntariamente, he indicado.

Acabo de hacer el camino que me has señalado en tu post #12, y creo que me ha salido bien.

$dl=rd \theta$ (1)

$\dfrac{dl}{dx}=cos \theta, dl=cos\theta dx$ (2)

$cos \theta=\dfrac{R}{r}, r=\dfrac{R}{cos \theta}$ (3)

Igualando (1) con (2) y substituyendo (3),

$rd \theta=cos\theta dx, \dfrac{R}{cos \theta}d \theta=cos \theta dx, dx=\dfrac{R}{cos^2 \theta}d ...$ .

Sinceramente agradecido,
JCB.

PD: definitivamente, me quedo con Gauss