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Hilo: Mecanica lagrangiana 2.

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    Predeterminado Mecanica lagrangiana 2.

    Hola me podeis ayudar con el apartado d de este ejercicio.

    una particula puntual de masa m se desliza sin frición bajo la influencia de la gravedad por un alambre con la forma de un cicloide, cuya ecuación paramétrica es:
     x = a (\theta - \sin\theta ),
     y = a ( a + \cos\theta), con 0 <  \theta < 2\pi.
    Nombre:  Screenshot_20190211_184052.jpg
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    a) Determinar los grados de libertad y la energía cinética.
    Al tratarse de una particula tendría tres grados de libertad, pero al estar sujeta al eje x e y, tendria solo un grado de libertad.

    T = \frac{1}{2 } m \dot{r} = m {a}^{ 2} {( 1 -\cos\theta)}{{\dot {\theta}}^{2 } }

    b ) Encontrar el Lagrangiano.

     L = T - V como V =  m g a ( 1 + \cos\theta) entonces  L = m {a}^{ 2} {( 1 -\cos\theta)}{{\dot {\theta}}^{2 } -  m g a ( 1 + \cos\theta)

    c) Obtener la ecuación de movimiento.

    \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt}  } \frac{\partial L}{\partial \dot {\theta}}- \frac{\partial L}{\p... =  2 (1 - \cos\theta) \ddot {\theta} + \sin\theta {\dot{\theta}}^{2 } - \frac{g}{ a}\sin\theta = 0

    y este sería el apartado que no sé como se hace:

    Haciendo el cambio  u = \cos(\frac{\theta}{2 }), demostrad que la ecuación encontrada en (c) se puede escribir en la forma:
    \frac{\mathrm{d^2}u }{\mathrm{d}t^2  } + \frac{g}{ 4a} u = 0
    con lo cual la particula con periodo  t= 4\pi\sqrt{\frac{a}{ g}}. a la luz de este resultado comentar si el cicloide tiene la propiedad tautócrana ( un objeto dejado en cualquier punto del cicloide llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida).
    Última edición por jssln; 11/02/2019 a las 18:43:32.

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