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Hilo: Demostración Transformada de Fourier

  1. #1
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    Smile Demostración Transformada de Fourier

    Hola quería saber la deducción de la transformada de fourier, o bien la demostración de la dualidad de la transformada de fourier.
    Por lo que he buscado esta se obtiene de llevar el límite cuando T tiende a infinito de la serie de fourier de una función periódica en su forma compleja

    f(t)= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac 1{2 \pi} \sum_{k=-n}^{n} \Bigg( \int_{-T/2}^{T/2} f...  \displaystyle \lim_{T \to \infty} \hspace{1mm} \lim_{n \to \infty} \frac 1{2 \pi} \sum_{k=-n}^{n...

    Se le llama a  \displaystyle \frac{2 \pi}T k= \omega_k , y con ello
     \displaystyle \omega_{k+1} -\omega_k=\Delta \omega = \frac{2 \pi}T , y con ello se llega a que
    f(t)= \displaystyle  \frac 1{2 \pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \Bigg( \int_{-\frac {\pi}{\Delta \o...  \displaystyle \lim_{ \Delta \omega \to 0} \frac 1{2 \pi} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \Bigg( \int_{... = \displaystyle \frac 1{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \Bigg( \int_{- \infty}^{\infty} f( \xi) \c...

    En los libros que he visto pasan sin más de la suma a la integral, pero lo que no se muy es por que esa suma infinita da una integral impropia (de -infinito a infinito), porque bien cualquier integral que tenga limites de integración finitos también da una suma infinita, no se bien si es porque es mayor el infinito de la n que el de la T, y si es así no veo el porqué.

    No se si conocéis alguna referencia en donde se haga este paso con un poco mas de cuidado.
    Muchas gracias de antemano
    Última edición por danielandresbru; 28/02/2019 a las 00:16:41.
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