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Hilo: Tiempo minimo ejercicio cinematica

  1. #1
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    Predeterminado Tiempo minimo ejercicio cinematica

    Buenas! Tengo una duda con un ejercicio que en teoria es facil, pero no logro sacarlo. Dice así:

    Si a y b son la máxima aceleración y la máxima desaceleración que puede alcanzar un tren, demuestra que el mínimo tiempo que necesita para recorrer una distancia d, comenzando y acabando en reposo, es

     {\left( \frac{2d(a+b)}{ab} \right ) }^{1/2}

    Si alguien me diese una pista... Gracias!

  2. #2
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    Predeterminado Re: Tiempo minimo ejercicio cinematica

    ¿No te provoca hacerlo gráficamente? En una gráfica de rapidez contra tiempo, tendrías una recta que parte del origen con pendiente "a" seguida por una recta de pendiente "b" hasta v=0. La base del triángulo formado es el tiempo empleado mientras que el área encerrada por el triángulo es la distancia recorrida.

    Saludos,

    \mathcal A \ell
    Don't wrestle with a pig in the mud. You'll both get dirty, but the pig will enjoy it. - Parafraseando a George Bernard Shaw

  3. El siguiente usuario da las gracias a Al2000 por este mensaje tan útil:

    angel relativamente (22/03/2019)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Tiempo minimo ejercicio cinematica

    Perfecto, gracias!

    No sé por qué, pero me habia obcecado en hacerlo analíticamente, buscando las ecuaciones y no encontraba la manera correcta de plantearlo. Gracias de nuevo

  5. #4
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    Predeterminado Re: Tiempo minimo ejercicio cinematica

    Hola a todos.

    Analíticamente, he planteado lo siguiente, aunque como no tengo la certeza de su fiabilidad, desearía leer vuestros comentarios:

    En el primer tramo (aceleración): v_{max}=at_1.

    En el segundo tramo (deceleración): v_{final}=v_{max}-bt_2=at_1-bt_2=0, t_2=\dfrac{a}{b}t_1 (1).

    Por otra parte, como la velocidad media, tanto en el tramo de aceleración como en el de deceleración, es at_1:

    d=at_1t_1+at_1t_2 (2). Substituyendo (1) en (2):

    d=at_1^2+\dfrac{a^2}{b}t_1^2, de donde se obtiene t_1=\sqrt{\dfrac{d}{a+\dfrac{a^2}{b}}}.

    t=t_1+t_2=\sqrt{\dfrac{d}{a+\dfrac{a^2}{b}}}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{d}{a+\dfrac{a^2}{b}}}=\left... (expresión muy poco elegante, la verdad).

    Saludos cordiales,
    JCB.

  6. #5
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    Predeterminado Re: Tiempo minimo ejercicio cinematica

    El tiempo empleado en el recorrido es

    t =\frac {v_{max}} a + \frac {v_{max}} b = v_{max}\frac {a + b}{a b}

    y para hallar v_{max} lo puedes hacer usando la velocidad media:

    \bar v = \frac d t = \frac 1 2 v_{max}

    Poniendo todo junto

    t = v_{max} \frac {a + b}{a b} = \frac {2 d} t \frac {a + b}{a b} \quad \Rightarrow \quad \boxed ...

    Saludos,

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  7. El siguiente usuario da las gracias a Al2000 por este mensaje tan útil:

    JCB (23/03/2019)

  8. #6
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    Predeterminado Re: Tiempo minimo ejercicio cinematica

    Quedo muy agradecido, Al2000, por hacer el desarrollo que conduce a la expresión del enunciado. Me has hecho ver que he cometido un gazapo de campeonato: la velocidad media, evidentemente, no es at_1, sino \dfrac{at_1}{2}. De esta manera, hubiese llegado a la expresión, todavía menos elegante, pero correcta numéricamente:

    t=t_1+t_2=\sqrt{\dfrac{d}{\dfrac{a}{2}+\dfrac{a^2}{2b}}}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{d}{\dfrac{a}{2}....

    Saludos cordiales,
    JCB.
    Última edición por JCB; 23/03/2019 a las 00:58:47.

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