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Hilo: Hallar la relación entre dos módulos

  1. #1
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    Predeterminado Hallar la relación entre dos módulos

    Buen día, quisiera que me ayuden a resolver este ejercicio por favor.
    Dos vectores \vec{A} y \vec{B} de igual módulo forman un angulo \theta ¿En que relación están los módulos de los vectores \vec{A}+\vec{B} y \vec{A}-\vec{B} ?
    Respuesta correcta: tan \theta /2
    Última edición por anthropus; 30/03/2019 a las 18:51:45.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Hallar la relación entre dos módulos

    Hola anthropus Bienvenido al foro!!!! como nuevo miembro te será útil leer consejos para recibir ayuda de forma efectiva.

    también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes


    se puede elegir un sistema de referencia ene que el vector A sea para lelo a las x de modo que

    \vec A+\vec B=(|A|+|B|\cos\theta,|B|\sin\theta)

    y

    \vec A-\vec B=(|A|-|B|\cos\theta,-|B|\sin\theta)

    entonces

    \dfrac{|\vec A+\vec B|}{|\vec A-\vec B|}=\dfrac{|(|A|+|B|\cos\theta,|B|\sin\theta)|}{|(|A|-|B|\cos\theta,-|B|\sin\theta)|}

    =\sqrt{\dfrac{|A|^2+2|A||B|\cos\theta+|B|^2\cos^2\theta+|B|^2\sin^2\theta}{|A|^2-2|A||B|\cos\thet...

    simplificando |B|^2\cos^2\theta+|B|^2\sin^2\theta=|B|^2

    =\sqrt{\dfrac{|A|^2+2|A||B|\cos\theta+|B|^2}{|A|^2-2|A||B|\cos\theta+|B|^2}}

    dividiendo numerador y denominador por |A|^2+|B|^2

    =\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{2|A||B|}{|A|^2+|B|^2}\cos\theta}{1-\dfrac{2|A||B|}{|A|^2+|B|^2}\cos\theta}}

    cómo no puedo elegir libremente los valores de los módulos de A y B , pues |A|=|B| entonces \dfrac{2|A||B|}{|A|^2+|B|^2}=1

    reescribiendo

    =\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}

    luego
    \dfrac{|\vec A+\vec B|}{|\vec A-\vec B|}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}=\pm \tan\frac{...

    Esa relación en una propiedad trigonométrica de los angulos mitades, puedes consultar esa seccion en https://forum.lawebdefisica.com/entr...onometr%C3%ADa
    Última edición por Richard R Richard; 30/03/2019 a las 19:41:54.
    Saludos \mathbb {R}^3

  3. El siguiente usuario da las gracias a Richard R Richard por este mensaje tan útil:

    JCB (30/03/2019)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Hallar la relación entre dos módulos

    El módulo de A+B es la raíz cuadrada de : A^2 +B`^2 + 2 . A . B. = A^2 + A^2 + 2.A. B . cos del angulo= A^2 + A^2 + 2 . A^2 .cos del angulo =
    2A^2. ( 1 + cos. del ángulo )
    El módulo de A - B , siguiendo el mismo procedimiento da la raíz cuadrada de : 2 A ^2 ( 1 - cos del angulo)
    Si divides la segunda ecuación entre la primera te da la fórmula de la tag del àngulo mitad

  5. #4
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    Predeterminado Re: Hallar la relación entre dos módulos

    Gracias Richard.

    Había llegado a \sqrt{\dfrac{1+cos\theta}{1-cos\theta}}, pero no sabía la relación que había con la tangente del ángulo mitad.

    Saludos cordiales,
    JCB.

  6. #5
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    Predeterminado Re: Hallar la relación entre dos módulos

    Gracias, yo también llegue hasta esa parte, pero desconocía esa propiedad.

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