Resultados 1 al 6 de 6

Hilo: Velocidad de órbita en Schwarzschild

  1. #1
    Registro
    Feb 2019
    Posts
    10
    Nivel
    Universidad (Otras ciencias)
    ¡Gracias!
    0 (0 msgs.)

    Predeterminado Velocidad de órbita en Schwarzschild

    Hola, considerando la métrica de Schwarzschild de la forma:

    \dd s^2=-\left(1- \frac{2GM}{rc^{2}}\right)\dd t^2+\left(1- \frac{2GM}{rc^{2}}\right)^{-1}\dd r^2...

    Quisiera entender cómo se deduce la velocidad tangencial de una partícula en órbita circular, visto desde un observador situado a una distancia infinita (¿la velocidad es la misma en el marco de referencia de la partícula?). Entiendo que la ecuación es:

    v=\sqrt{\frac{GM}{R\left(1- \frac{3GM}{rc^{2}}\right)}}

    Pero no sé cómo deducirla a partir de la métrica. Sé que en el caso newtoniano se obtiene una expresión similar igualando la aceleración de la fuerza gravitatoria con la aceleración centrípeta a=v^{2}/r, y quisiera conocer su equivalente en este caso. He consultado en libros e internet, en español e inglés, sin resultados.

    Muchas gracias!
    Última edición por MrTicTac; 10/04/2019 a las 20:59:15.

  2. #2
    Registro
    Jun 2011
    Posts
    391
    Nivel
    Universidad (Ingeniería)
    ¡Gracias!
    89 (71 msgs.)

    Predeterminado Re: Velocidad de órbita en Schwarzschild

    Hola.
    Busca en Internet:
    'Geodesicas en la métrica de Schwarzschild y Kerr. Tratamiento numerico'
    de Rafael Zamora Ramos.
    Facultad de Fisica. Sevilla. España.

    Quizas te sirva de algo...
    Un saludo.
    La Ciencia no describe la Realidad, mas bien, describe el conocimiento humano sobre la Realidad. (Niels Bohr)

  3. El siguiente usuario da las gracias a FVPI por este mensaje tan útil:

    MrTicTac (10/04/2019)

  4. #3
    Registro
    Apr 2014
    Ubicación
    Galicia
    Posts
    86
    Nivel
    Grado en Física
    ¡Gracias!
    27 (26 msgs.)

    Predeterminado Re: Velocidad de órbita en Schwarzschild

    Hola, lo que se suele hacer en Relatividad General es observar la métrica y ver la dependencia con las variables de esta. Al no estar el tiempo y el azimut explicítamente, existirán dos cantidades conservadas, una magnitud que no es la energía pero se le suele designar por E (asociada al tiempo) y el momento angular L. Con ayuda de los vectores de Killing se construyen estas cantidades conservadas.



    $$L=\mathbf{R} \cdot \mathbf{u}=\delta^{\mu}_{\phi} g_{\mu \nu} u^{\nu}=g_{\phi \nu} u^{\nu}=r^{2...

    $$E=-\mathbf{T} \cdot \mathbf{u}=-\delta^{\mu}_{t} g_{\mu \nu} u^{\nu}=-g_{t \nu} u^{\nu}=B(r) u^...

    Se construye ds^2/d\lambda^2:

    $$-\kappa=\dot{x}^{\mu} \dot{x}^{\nu} g_{\mu \nu}=-B(r) \dot{t}^{2}+A(r) \dot{r}^{2}+r^{2}\left(\...

    donde \kappa indica el tipo de trayectoria (tipo tiempo=1, tipo luz=0)

    De los vectores de Killing podemos escribir la expresión anterior en función de las cantidades conservadas:

    $$\begin{aligned}-\kappa &=-B(r)(\dot{t})^{2}+A(r)(\dot{r})^{2}+r^{2}(\dot{\phi})^{2} \\ &=-\frac...

    Despejando E:


    $$\frac{1}{2} \dot{r}^{2}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{2 M}{r}\right)\left(\frac{L^{2}}{r^{2}}+\kappa...


    Lo que haríamos ahora es obtener un potencial efectivo y, al ser la órbita circular, deshacernos del \dot{r}. También nos hemos deshecho del angulo elevación, lo fijaremos a \pi/2 por comodidad.

    Con el potencial efectivo se calcularía el radio de la órbita circular (en función del momento angular):

    $$L^{2}=\frac{M R_{+}^{2}}{R_{+}-3 M}$$

    Y finalmente, de la expresión obtenida para el momento angular, obtenemos finalmente:

    $$\omega_{\phi}^{2}=\dot{\phi}^{2}=\frac{L^{2}}{R_{+}^{4}}=\frac{M}{R_{+}^{2}\left(R_{+}-3 M\righ...


    Escrito de otra forma:

    $$\begin{aligned} u_{R_{+}}^{\mu} &=(\dot{t}, 0,0, \dot{\phi})=\left(\frac{E}{B(r)}, 0,0, \frac{L...

    donde \Omega es la derivada de 'phi' con el tiempo coordenado.
    Que parece ser el mismo resultado que tu proporcionas. Notar que estoy haciendo los cálculos en unidades geométricas (c,G=1).

    Un saludo.
    Última edición por IsaacDL; 10/04/2019 a las 15:29:46.

  5. El siguiente usuario da las gracias a IsaacDL por este mensaje tan útil:

    MrTicTac (10/04/2019)

  6. #4
    Registro
    Feb 2019
    Posts
    10
    Nivel
    Universidad (Otras ciencias)
    ¡Gracias!
    0 (0 msgs.)

    Predeterminado Re: Velocidad de órbita en Schwarzschild

    Muchas gracias @IsaacDL por haberte tomado la molestia de desarrollarlo. Hasta este punto creo haber entendido:
    Cita Escrito por IsaacDL Ver mensaje
    Despejando E:




    $$\frac{1}{2} \dot{r}^{2}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{2 M}{r}\right)\left(\frac{L^{2}}{r^{2}}+\kappa...

    Respecto a lo que sigue:
    Cita Escrito por IsaacDL Ver mensaje
    Lo que haríamos ahora es obtener un potencial efectivo y, al ser la órbita circular, deshacernos del \dot{r}. También nos hemos deshecho del angulo elevación, lo fijaremos a \pi/2 por comodidad.


    Con el potencial efectivo se calcularía el radio de la órbita circular (en función del momento angular):


    $$L^{2}=\frac{M R_{+}^{2}}{R_{+}-3 M}$$
    Aquí, a partir de la ecuación anterior he hecho \dot{r}=0 como indicas, y además supongo \kappa=1 que es el caso que me interesa, pero obtengo la siguiente expresión:


    $$L^{2}=r^{3}\frac{\left(E^{2}-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\right)}{r-2M}


    No entiendo bien por qué pasas a usar la variable R_{+} en lugar de r, y además, ¿cómo se cancelaría E?


    En el siguiente paso veo que deduces la velocidad angular, ¿hay alguna diferencia entre \omega_{\phi} y el \Omega que usas más abajo? Y si quiero obtener la velocidad con la que varía la posición en lugar de la velocidad angular, es válida la fórmula clásica \omega_{\phi}=v/r en este contexto?


    @FVPI: he estado revisando la literatura sugerida. No encontré la expresión que necesitaba, pero aún así parece un trabajo interesante (todavía no lo leí con el debido detalle), gracias por compartirlo.
    Última edición por MrTicTac; 10/04/2019 a las 18:37:21.

  7. #5
    Registro
    Apr 2014
    Ubicación
    Galicia
    Posts
    86
    Nivel
    Grado en Física
    ¡Gracias!
    27 (26 msgs.)

    Predeterminado Re: Velocidad de órbita en Schwarzschild

    Hola, para calcular los radios posibles lo que hacemos es con ayuda del potencial efectivo, ver que radios son estables, esto es:

    0=\left.\frac{\partial V}{\partial r}\right|_{r=R_+}=\frac{M R^{2}-L^{2} R+3 M L^{2}}{R^{4}}

    De aquí lo que hice fue despejar L^2 a un lado de la expresión, y meterlo aquí:

    $$\frac{1}{2} \dot{r}^{2}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{2 M}{r}\right)\left(\frac{L^{2}}{r^{2}}+\kappa...

    Ahora ya tenemos despejado tanto E como L, lo que hacemos es calcular lo que nos piden.

    Entiendo tu duda con respecto a \Omega y \omega_{\phi}.

    La primera es la derivada de \phi con respecto al tiempo coordenado t. La segunda es la derivada de \phi con respecto a \tau (creo que la gente le suele llamar tiempo propio, nombre no muy adecuado). Para cerrar dudas:

    $$
    \begin{aligned} \Omega^{2} &=\left(\frac{d \phi}{d t}\right)^{2}=\left(\frac{d \phi}{d \tau} \fra...



    Cita Escrito por MrTicTac Ver mensaje

    Aquí, a partir de la ecuación anterior he hecho \dot{r}=0 como indicas, y además supongo \kappa=1 que es el caso que me interesa, pero obtengo la siguiente expresión:

    Sí. Un saludo y perdona las molestias.
    Última edición por IsaacDL; 10/04/2019 a las 19:24:11.

  8. El siguiente usuario da las gracias a IsaacDL por este mensaje tan útil:

    MrTicTac (10/04/2019)

  9. #6
    Registro
    Feb 2019
    Posts
    10
    Nivel
    Universidad (Otras ciencias)
    ¡Gracias!
    0 (0 msgs.)

    Predeterminado Re: Velocidad de órbita en Schwarzschild

    Muchas gracias nuevamente! Ahora sí he podido seguir la deducción. Edité mi entrada inicial porque en la velocidad que había presentado al parecer había un error.

Información del hilo

Usuarios viendo este hilo

Ahora hay 1 usuarios viendo este hilo. (0 miembros y 1 visitantes)

Hilos similares

  1. Otras carreras Cambio de velocidad de un objeto en órbita
    Por NikolaT en foro Mecánica newtoniana
    Respuestas: 7
    Último mensaje: 16/07/2016, 17:58:51
  2. Otras carreras De órbita circular a órbita eliptica
    Por fafafa en foro Mecánica newtoniana
    Respuestas: 2
    Último mensaje: 03/03/2016, 09:21:27
  3. Secundaria Radio de Schwarzschild
    Por The Higgs Particle en foro Relatividad y cosmología
    Respuestas: 3
    Último mensaje: 10/09/2015, 21:19:47
  4. Secundaria Velocidad de un satélite en órbita elíptica
    Por Malevolex en foro Relatividad y cosmología
    Respuestas: 3
    Último mensaje: 19/10/2014, 10:22:16
  5. Secundaria Velocidad para poner en órbita
    Por The Higgs Particle en foro Mecánica newtoniana
    Respuestas: 1
    Último mensaje: 06/10/2014, 20:39:11

Permisos de publicación

  • No puedes crear hilos
  • No puedes responder
  • No puedes adjuntar archivos
  • No puedes editar tus mensajes
  •