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Hilo: El menor valor de tres vectores

  1. #1
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    Predeterminado El menor valor de tres vectores

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    Se muestra tres vectores \vec{A}, \vec{B} y \vec{C}, que verifican |\vec{A}|=|\vec{B}|=|\vec{C}|/2. Si la resultante de los tres vectores toma su menor valor, determine el valor del ángulo \alpha y el valor de la resultante.

    Resolución
     |\vec{B}|=\sqrt{{24}^{2}+{7}^{2}}=25
    |\vec{A}|=25
    |\vec{C}|=25/2

    Ay=25\sin44
    Ax=25\cos44
    Cy=25/2\sin\alpha
    Cx=25/2\cos\alpha

    Rpta: 14y 25 cm

    Ayudenme por favor.
    Última edición por anthropus; 11/04/2019 a las 17:20:26.

  2. #2
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    Predeterminado Re: El menor valor de tres vectores

    Te falta poco. Eso sí, tienes mal los signos de unas cuantas componentes. Corrígelos.

    También tienes mal el seno y el coseno en las componentes de \vec C

    Encuentra el vector suma. Con él su módulo (o más cómodo: el cuadrado del mismo). Lo que queda es un problema de máximos y mínimos.
    Última edición por arivasm; 11/04/2019 a las 17:50:00.
    A mi amigo, a quien todo debo.

  3. #3
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    Predeterminado Re: El menor valor de tres vectores

    Buenas anthropus,

    El cálculo que has hecho con los módulos de los vectores lo tienes correcto. Luego, las componentes de los vectores que has calculado no estan del todo correctas por el signo. Fíjate que estan en un cuadrante determinado. En el caso del vector A, se encuentra en el segundo cuadrante, entonces la componente x del vector es negativa y la y es positiva. Y así con la resta de los casos. Utilizando esto te queda:

    \overrightarrow{A}=(A_x,A_y)=(-25\cos 44, 25\sin 44)

    \overrightarrow{B}=(B_x,B_y)=(24, 7)

    \overrightarrow{C}=(C_x,C_y)=(-12,5\sin \alpha, -12,5\cos \alpha)

    Luego, la resultante de los tres vectores es:

    \overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}=(-25\cos  44, 25\sin 44)+(24,7)+(-12,5\sin \alpha, -12,5\cos \alpha)=(-25\cos  (44)+24-12,5\sin (\alpha); 25\sin (44)+7-12,5\cos (\alpha))

    Como el vector resultante tiene que tomar el menor valor, esto significa, que el módulo de \overrightarrow{R} tiene que ser mínimo:

    |\overrightarrow{R}|=\sqrt{(-25\cos  (44)+24-12,5\sin (\alpha))^2+(25\sin (44)+7-12,5\cos  (\alph...=\sqrt{(6,02-12,5\sin (\alpha))^2+(24,37-12,5\cos  (\alpha))^2}=\sqrt{36,24-150,5\sin (\alpha)+156,25\sin^2  (\alpha)+593,9-609,25\cos (\alpha)+156,25\cos^2 (\a...

    Tenemos que minimizar esta función. Minimizamos el cuadrado de esta función:

    f(\alpha)=630,14-150,5\sin  (\alpha)-609,25\cos (\alpha)+156,25(\sin^2 \alpha +\cos^2  \alpha)=

    =630,14-150,5\sin (\alpha)-609,25\cos (\alpha)+156,25\cdot  1=786,39-150,5\sin (\alpha)-609,25\cos (\alpha)
    Consideramos que \alpha \in \left[ 0, 90\right] (o sea que el vector C se encuentra en el tercer cuadrante). Calculamos la derivada:

    f'(\alpha)=-150,5\cos \alpha +609,25\sin \alpha =0\Implies \alpha =13,87\º

    Veamos que es un mínimo:

    f''(\alpha)=150,5\sin \alpha +609,25\cos \alpha \Rightarrow f''(13,87\º)>0
    y por tanto es un mínimo.

    Entonces el valor del ángulo es \alpha =13,87\º. El valor de la resultante es:

    \overrightarrow{R}=(3,02; 12,23)\Rightarrow |\overrightarrow{R}|=12,6

    Saludos.
    Última edición por Guillem_dlc; 11/04/2019 a las 18:04:00.

  4. #4
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    Predeterminado Re: El menor valor de tres vectores

    Cita Escrito por arivasm Ver mensaje
    Te falta poco. Eso sí, tienes mal los signos de unas cuantas componentes. Corrígelos.

    También tienes mal el seno y el coseno en las componentes de \vec C

    Encuentra el vector suma. Con él su módulo (o más cómodo: el cuadrado del mismo). Lo que queda es un problema de máximos y mínimos.
    ¿A que se refiere 'la resultante de los tres vectores toma su menor valor'?

    - - - Actualizado - - -

    Cita Escrito por Guillem_dlc Ver mensaje
    Buenas anthropus,

    El cálculo que has hecho con los módulos de los vectores lo tienes correcto. Luego, las componentes de los vectores que has calculado no estan del todo correctas por el signo. Fíjate que estan en un cuadrante determinado. En el caso del vector A, se encuentra en el segundo cuadrante, entonces la componente x del vector es negativa y la y es positiva. Y así con la resta de los casos. Utilizando esto te queda:

    \overrightarrow{A}=(A_x,A_y)=(-25\cos 44, 25\sin 44)

    \overrightarrow{B}=(B_x,B_y)=(24, 7)

    \overrightarrow{C}=(C_x,C_y)=(-12,5\sin \alpha, -12,5\cos \alpha)

    Luego, la resultante de los tres vectores es:

    \overrightarrow{R}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}=(-25\cos  44, 25\sin 44)+(24,7)+(-12,5\sin \alpha, -12,5\cos \alpha)=(-25\cos  (44)+24-12,5\sin (\alpha); 25\sin (44)+7-12,5\cos (\alpha))

    Como el vector resultante tiene que tomar el menor valor, esto significa, que el módulo de \overrightarrow{R} tiene que ser mínimo:

    |\overrightarrow{R}|=\sqrt{(-25\cos  (44)+24-12,5\sin (\alpha))^2+(25\sin (44)+7-12,5\cos  (\alph...=\sqrt{(6,02-12,5\sin (\alpha))^2+(24,37-12,5\cos  (\alpha))^2}=\sqrt{36,24-150,5\sin (\alpha)+156,25\sin^2  (\alpha)+593,9-609,25\cos (\alpha)+156,25\cos^2 (\a...

    Tenemos que minimizar esta función. Minimizamos el cuadrado de esta función:

    f(\alpha)=630,14-150,5\sin  (\alpha)-609,25\cos (\alpha)+156,25(\sin^2 \alpha +\cos^2  \alpha)=

    =630,14-150,5\sin (\alpha)-609,25\cos (\alpha)+156,25\cdot  1=786,39-150,5\sin (\alpha)-609,25\cos (\alpha)
    Consideramos que \alpha \in \left[ 0, 90\right] (o sea que el vector C se encuentra en el tercer cuadrante). Calculamos la derivada:

    f'(\alpha)=-150,5\cos \alpha +609,25\sin \alpha =0\Implies \alpha =13,87\º

    Veamos que es un mínimo:

    f''(\alpha)=150,5\sin \alpha +609,25\cos \alpha \Rightarrow f''(13,87\º)>0
    y por tanto es un mínimo.

    Entonces el valor del ángulo es \alpha =13,87\º. El valor de la resultante es:

    \overrightarrow{R}=(3,02; 12,23)\Rightarrow |\overrightarrow{R}|=12,6



    Saludos.
    Gracias Guillem_dlc y arivasm.

  5. #5
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    Predeterminado Re: El menor valor de tres vectores

    Cita Escrito por anthropus Ver mensaje
    ¿A que se refiere 'la resultante de los tres vectores toma su menor valor'?
    A que el módulo de su suma (resultante) sea mínimo. Fíjate en el texto que ha escrito Guillem_dic, pues hace mención explícita a ello.
    A mi amigo, a quien todo debo.

  6. #6
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    Predeterminado Re: El menor valor de tres vectores

    Hola,
    El razonamiento de guillem_dlc es el correcto y sin duda la forma más general de enfrentarse a este tipo de problemas, pero algo me dice que anthropus no conoce los métodos de minimización con derivadas y este problema creo que admite una solución más sencilla.
    Como nos piden ver cuál es el menor módulo que puede tener la suma \vec A + \vec B + \vec C, y sabemos que la única variable es el ángulo \alpha que afecta solo al vector \vec C, podemos calcular primero la suma de los vectores \vec A + \vec B , pues tenemos todos los datos. Después, a este vector suma resultante tenemos que sumarle \vec C para que el valor sea mínimo. Pero sabemos que la suma de dos vectores tiene módulo mínimo si ambos tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.

    Saludos,
    k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2...

  7. #7
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    Predeterminado Re: El menor valor de tres vectores

    Cita Escrito por angel relativamente Ver mensaje
    Hola,
    El razonamiento de guillem_dlc es el correcto y sin duda la forma más general de enfrentarse a este tipo de problemas, pero algo me dice que anthropus no conoce los métodos de minimización con derivadas y este problema creo que admite una solución más sencilla.
    Como nos piden ver cuál es el menor módulo que puede tener la suma \vec A + \vec B + \vec C, y sabemos que la única variable es el ángulo \alpha que afecta solo al vector \vec C, podemos calcular primero la suma de los vectores \vec A + \vec B , pues tenemos todos los datos. Después, a este vector suma resultante tenemos que sumarle \vec C para que el valor sea mínimo. Pero sabemos que la suma de dos vectores tiene módulo mínimo si ambos tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.

    Saludos,
    La respuesta es 14 y 25 cm, pero a guillem_dlc le salio otra creo.

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