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Hilo: Probabilidad de colisión

  1. #1
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    Predeterminado Probabilidad de colisión

    En un volumen conocido “V” tengo un número conocido de partículas “N” que se mueven de forma aleatoria, (no necesariamente rectilínea) por el interior. Sé que el tiempo medio entre colisiones para una partícula cualquiera es “T” (dato)

    1) ¿Cómo calculo cuántas colisiones “n” habrá en promedio en todo el volumen en un tiempo dado “\boldsymbol{t_1}” (dato)?

    ¿Es tan simple como n=N \ \dfrac{t_1} T ?

    2) Si elegimos 1 partícula cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que sufra por lo menos 1 colisión en un tiempo dado “\boldsymbol{t_2}

    3) ¿Cual es la probabilidad de que haya por lo menos 1 colisión en todo el volumen en un tiempo dado “\boldsymbol{t_3}

    Gracias y saludos.

  2. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    Jaime Rudas (12/04/2019)

  3. #2
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    Predeterminado Re: Probabilidad de colisión

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    En un volumen conocido “V” tengo un número conocido de partículas “N” que se mueven de forma aleatoria, (no necesariamente rectilínea) por el interior. Sé que el tiempo medio entre colisiones para una partícula cualquiera es “T” (dato)

    1) ¿Cómo calculo cuántas colisiones “n” habrá en promedio en todo el volumen en un tiempo dado “\boldsymbol{t_1}” (dato)?

    ¿Es tan simple como n=N \ \dfrac{t_1} T ?
    Como cada colisión involucra a dos partículas, yo diría que n=\dfrac{N \ t_1}{2 T}
    Última edición por Jaime Rudas; 12/04/2019 a las 12:43:33. Razón: Mejorar presentación

  4. El siguiente usuario da las gracias a Jaime Rudas por este mensaje tan útil:

    Alriga (12/04/2019)

  5. #3
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    Predeterminado Re: Probabilidad de colisión

    Yo diria que uses la distribución de weibull
    https://es.m.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_Weibull
    La tasa de choque ya supone que el choque fue contra otra particula.
    Saludos \mathbb {R}^3

  6. #4
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    Predeterminado Re: Probabilidad de colisión

    Cita Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
    Yo diria que uses la distribución de weibull
    https://es.m.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_Weibull
    Y ¿por qué no la distribución de Poisson?

    Cita Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
    La tasa de choque ya supone que el choque fue contra otra particula.
    Supongamos que cada partícula choca una vez por segundo. Para el caso de un volumen de dos partículas, habrá, en total, una colisión por segundo, no dos.

  7. El siguiente usuario da las gracias a Jaime Rudas por este mensaje tan útil:

    Alriga (12/04/2019)

  8. #5
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    Predeterminado Re: Probabilidad de colisión

    Cita Escrito por Jaime Rudas Ver mensaje
    Como cada colisión involucra a dos partículas, yo diría que n=\dfrac{N \ t_1}{2 T}
    Eso me sugiere mejor:

    1)

    ¿¿  n=\dfrac{(N-1) \ t_1}T} ??

    para garantizar que si solo hay una partícula salga n = 0 y si hay 2 partículas salga 1 choque en t_1=T

    Cita Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
    Yo diria que uses la distribución de weibull
    https://es.m.wikipedia.org/wiki/Distribución_de_Weibull
    Umm,... no creo, la Distribución de Weibull es continua y mi problema es discreto.

    Cita Escrito por Jaime Rudas Ver mensaje
    Y ¿por qué no la distribución de Poisson?
    2)

    f(k,\lambda)=\dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}

    ¿¿ Cuánto vale \lambda ??

    ¿¿ \lambda=\dfrac{t_2}T ??

    Entonces la probabilidad de exactamente k colisiones sería

    ¿¿ p(k)=\dfrac{e^{-t_2/T} \ \Big ( \dfrac{t_2}T \Big )^k}{k!} ??

    ¿¿ Eso significaría que la probabilidad de al menos 1 colisión durante t_2 sería

    p=1-p(0)=1-e^{-t_2/T} ??

    ¿Como se hace el apartado (3)?

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 12/04/2019 a las 17:01:05. Razón: Ampliar información

  9. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    Jaime Rudas (12/04/2019)

  10. #6
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    Predeterminado Re: Probabilidad de colisión

    Lo estoy intentando resolver mediante la mecánica estadística y aunque creo que me estoy acercando no consigo resolverlo con las variables dadas.

    Si partimos de la densidad de flujo molecular J_0 que es el número de partículas que atraviesan una determinada superfície por unidad de tiempo en el equilibrio:

    J_0 = \dfrac{1}{4} n' \bar{v}

    Siendo n' la densidad molecular y \bar{v} su velocidad media.

    El número de choques que nos piden n vendrá dado por la integral:

    \dst n = \int J_0 \dd S = \dfrac{1}{4}N \bar{v}

    Siendo N el número de partículas. La velocidad media por definición respecto al recorrido libre medio l y tiempo medio entre colisiones \tau es:

    \bar{v} = \dfrac{l}{\tau}

    Por tanto n = \dfrac{N l}{4 \tau}

    \tau es conocida (es el T en este problema) y N también, faltaría averiguar el recorrido libre medio. El resultado clásico de l es:

    l = \dfrac{1}{\sqrt{2} n' \sigma}

    Siendo \sigma la sección eficaz de colisión. En el modelo clásico de esferas duras \sigma = 4 \pi r^2 con r como radio de la partícula. Pero no tenemos estos datos así que tal cual los presento no nos sirven...

    También se puede intentar trabajar con el coeficiente de difusión D, en este caso al ser d=3 y movimiento aleatorio supuestamente estadísticamente independientes entre sí las colisiones, se obtiene:

    D = \dfrac{s^2}{6 \Delta t}

    Siendo s el tramo que recorre una molécula en un tiempo t y \Delta t el intervalo fundamental de tiempo escogido con t = \alpha \Delta t.
    Última edición por Ulises7; 12/04/2019 a las 23:25:49.
    Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.
    Isaac Newton

  11. #7
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    Predeterminado Re: Probabilidad de colisión

    Hola ahora si tengo realmente tiempo de ayudarte...


    Tu formula n=\dfrac{(N-1) \ t_1}T}

    parece correcta si hay una única bola , la probabilidad de colisión con otra es nula

    si hay 2 tiene que haber una colisión en el tiempo medio de colisión, dos en el doble de tiempo , pero si hay tres también es el triple porque los combinatorios coinciden, pero si son 4 ya no es el cuádruple y el combinatorio C^{p}_n=\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} es 6

    las particulas que pueden chocar son

    1 y 2
    1 y 3
    1 y 4
    2 y 3
    2 y 4
    y
    3 y 4

    es decir n=\dst \binom{N}{2} \dfrac{ t_1}T}


    para 2 la función que tienes que usar es la poisson como dice Jaime, no había prestado atención a la continuidad.

    f(k,\lambda)=\dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}

    donde lambda es n el número de veces que ocurre un choque en ese tiempo t_2

    aquí como ya elegimos una partícula puede chocar con las N-1 restantes entonces

    n=(N-1) \dfrac{ t_2}T}

    la probabilidad de 1 o más colisiones es igual a 1 menos la probabilidad de que no suceda ninguna colisión en ese lapso de tiempo

    G(1,n)=1-F(0,n)=1-P(0,n)
    con
    P(0,n)=f(0,n)=\dfrac{e^{-n} \lambda^0}{0!}


    y para 3 aplica n=\dst\binom{N}{2} \dfrac{ t_3}T}

    y nuevamente

    G(1,n)=1-F(0,n)=1-P(0,n)
    con
    P(0,n)=f(0,n)=\dfrac{e^{-n} \lambda^0}{0!}

    Saludos
    Última edición por Richard R Richard; 13/04/2019 a las 02:31:21. Razón: gazapos latex, ortografia
    Saludos \mathbb {R}^3

  12. 2 usuarios dan las gracias a Richard R Richard por este mensaje tan útil:

    Alriga (25/04/2019),Jaime Rudas (13/04/2019)

  13. #8
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    Predeterminado Re: Probabilidad de colisión

    Gracias por responder \mathbb{R}^3, pero la solución que das para el apartado (2) no la entiendo. Ese apartado dice en el enunciado:

    2) Si elegimos 1 partícula cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de que (ella) sufra por lo menos 1 colisión en un tiempo dado “\boldsymbol{t_2}

    Cita Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
    para (2) la función que tienes que usar es la Poisson como dice Jaime, no había prestado atención a la continuidad.
    f(k,\lambda)=\dfrac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
    donde lambda es n el número de veces que ocurre un choque en ese tiempo t_2
    Si lambda es el número de veces en promedio que la partícula elegida sufre un choque en el tiempo t_2 a mí me parece que debería ser simplemente.

    \lambda=\dfrac{t_2}T

    Entonces la probabilidad de que mi partícula elegida sufriese exactamente k colisiones sería:

    p(k)=\dfrac{e^{-t_2/T} \ \Big ( \dfrac{t_2}T \Big )^k}{k!}

    Y eso significaría que la probabilidad de al menos 1 colisión durante t_2 sería

    p=1-p(0)=1-e^{-t_2/T}

    No entiendo por qué dices

    Cita Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
    aquí como ya elegimos una partícula puede chocar con las N-1 restantes entonces
    n=(N-1) \dfrac{ t_2}T}
    la probabilidad de 1 o más colisiones es igual a 1 menos la probabilidad de que no suceda ninguna colisión en ese lapso de tiempo
    G(1,n)=1-F(0,n)=1-P(0,n)
    con
    P(0,n)=f(0,n)=\dfrac{e^{-n} \lambda^0}{0!}
    Pones “n” como exponente del número “e” en:

    P(0,n)=f(0,n)=\dfrac{e^{-n} \lambda^0}{0!}

    y antes has dicho

    n=(N-1) \dfrac{ t_2}T}

    pero el exponente del número “e” en la fórmula de Poisson es lambda, por lo tanto, según tú

    n=(N-1) \dfrac{ t_2}T}=\lambda

    Repito, no lo entiendo, según la Wikipedia

    lambda representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40

    En mi caso, una partícula cualquiera sufre una colisión cada “T” en promedio (dato) = sucede 1 vez por T es decir (1/T). Por analogía, si yo estoy interesado en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo “t_2” debería usar un modelo de distribución de Poisson con

    \lambda = t_2\cdot (1/T)=\dfrac{t_2}T

    Tu explicación de la solución al apartado (3) tampoco la entiendo.

    Cita Escrito por Ulises7 Ver mensaje
    Lo estoy intentando resolver mediante la mecánica estadística y aunque creo que me estoy acercando no consigo resolverlo con las variables dadas …
    Gracias por intentarlo. No sé si te puede servir que la velocidad media \bar v también es un dato, lo que permite calcular también el recorrido libre medio como \bar r=\bar v T

    Saludos.

  14. #9
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    Predeterminado Re: Probabilidad de colisión

    En este enlace hay un par de ejemplos resueltos de aplicación de la distribución de Poisson que quizás te ayuden.

    Saludos

  15. El siguiente usuario da las gracias a Jaime Rudas por este mensaje tan útil:

    Alriga (18/04/2019)

  16. #10
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    Predeterminado Re: Probabilidad de colisión

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje

    Gracias por intentarlo. No sé si te puede servir que la velocidad media \bar v también es un dato, lo que permite calcular también el recorrido libre medio como \bar r=\bar v T

    Saludos.
    ¿\bar{v} es un dato? Entonces creo que ya lo tengo, a menos que haya tenido algún desliz...

    Antes había escrito:

    \dst n = \int J_0 \dd S = \dfrac{1}{4}N \bar{v}

    Que son el número de colisiones en un determinado volumen por unidad de tiempo. A esta variable habría que multiplicar por t_1 para que sea efectivamente la n buscada (simbología desafortunada), entonces la n buscada es:

    n = \dfrac{1}{4}N \bar{v} t_1

    Para llegar a este resultado se han dado por válidas dos hipótesis (que no se especifican en el enunciado pero que precisamente al omitirse las doy por válidos por razonamientos físicos):

    1. El sistema está en equilibrio. Esto explica que no dependa del volumen (el motivo es que en el equilibrio la velocidad media depende sólo de la temperatura de las partículas y de su masa pero esta es fija). El argumento físico es que un sistema tiende siempre al equilibrio en un tiempo dado por el tiempo de relajación a menos que haya factores externos que lo empujen fuera del equilibrio.

    2. Los choques son estadísticamente independientes. La presunción es que es que no hay dirección privilegiada, así los choques son isótropos y sobretodo, que el recorrido libre medio es mucho mayor que el radio de las partículas.
    Última edición por Ulises7; 15/04/2019 a las 21:55:59.
    Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.
    Isaac Newton

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    Alriga (18/04/2019)

  18. #11
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    Predeterminado Re: Probabilidad de colisión

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    Sé que el tiempo medio entre colisiones para una partícula cualquiera es “T” (dato)
    Hola , ese una subrayado me hace bastante ruido, Por ahí conoces algo más del contexto del problema, y yo no te he podido guiar correctamente...,interpretas que el número de colisiones de una partícula en un intervalo de tiempo , es independiente del número de partículas dentro del volumen? Y aparte dato? No sería lo mismo 2 partículas en un volumen V que un millón, y cada una con la misma tasa de choques por unidad de tiempo.

    Pero si T es el tiempo medio entre colisiones con otras partículas para cualquier partícula de las N que se encuentran dentro del volumen V entonces sería correcto lo que afirmas , el número de colisiones promedio para ese número de partículas crece linealmente con el tiempo es decir para el apartado 2 sería parecido a lo que afirmas

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    Si lambda es el número de veces en promedio que la partícula elegida sufre un choque en el tiempo t_2 a mí me parece que debería ser simplemente.

    \lambda=\dfrac{t_2}T
    ojo!!! te piden el de una sola no el de todo el volumen, por eso debes dividir por el número de partículas

    Pero te hemos interpretado ese tiempo T como una propiedad para una o cada partícula, de hecho suponemos es N variable, y por eso la tasa entre choques dentro del volumen depende de ese número...Pero si es una constante del sistema entonces el párrafo anterior es correcto.


    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje

    Entonces la probabilidad de que mi partícula elegida sufriese exactamente k colisiones sería:

    p(k)=\dfrac{e^{-t_2/T} \ \Big ( \dfrac{t_2}T \Big )^k}{k!}

    Y eso significaría que la probabilidad de al menos 1 colisión durante t_2 sería

    p=1-p(0)=1-e^{-t_2/T}
    Siguiendo esa línea el razonamiento lo veo correcto, pero si sería correcta para el punto 3 con tiempo t_3, la cantidad de choques por unidad de tiempo \dfrac 1T es producida por las N partículas, si quieres la tasa de una sola debes dividirla por N

     \lambda_3=\dfrac{t_3}{T}

     \lambda_2=\dfrac{t_2}{NT}


    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje
    No entiendo por qué dices....
    Te reitero que te hemos interpretado que T es el tiempo entre colisiones con una "unica" partícula, si es sistema se compone de N sería lógico que esa tasa disminuye con el número de partículas, o o que el número de colisiones del sistema aumente con el número de partículas.

    Siendo coherente a N constante , la inversa del tiempo medio entre colisiones es el número medio de colisiones por unidad de tiempo. Que multiplicado por el tiempo de muestreo , te da el número medio de colisiones esperadas, luego aplicando esto en la distribución de Poisson, calculas la probabilidad de 1 o mas colisiones como 1 menos la probabilidad de que no ocurran colisiones en el tiempo de muestra.
    Saludos \mathbb {R}^3

  19. El siguiente usuario da las gracias a Richard R Richard por este mensaje tan útil:

    Alriga (18/04/2019)

  20. #12
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    Predeterminado Re: Probabilidad de colisión

    Richard, gracias por intentar ayudar. En un volumen conocido “V” tengo un número conocido de partículas “N” que se mueven de forma aleatoria por el interior. Los valores de N y de V son fijos para las 3 cuestiones y conocidos.

    Todas las partículas son equivalentes. Y es conocido que si yo me subo a una partícula (cualquiera) sufriré en promedio 1 colisión cada tiempo “T”, este “T” también es dato del problema.

    Lo recalco más, mi partícula elegida “auto de choque en el que voy subido” sufre en promedio 1 choque en T, 2 choques en 2T, 3 choques en 3T, etc

    Ya no hay más datos. Empecemos por la cuestión (2) que pregunta.

    2) ¿Cómo se calcula la probabilidad de que la partícula “auto de choque” en la que voy subido sufra por lo menos 1 colisión en un tiempo dado “\boldsymbol{t_2}”?

    Aquí es en donde a sugerencia de Jaime Rudas utilicé la Ley de Poisson de este modo:

    \lambda=\dfrac{t_2}T

    p(k)=\dfrac{e^{-t_2/T} \ \Big ( \dfrac{t_2}T \Big )^k}{k!}

    p(0)= e^{-t_2/T}

    p(al \ menos \ 1 \ colision)=1-p(0)=1- e^{-t_2/T}

    ¿Estamos de acuerdo que esta cuestión (2) se ha resuelto correctamente?

    Las otras 2 cuestiones que planteo son:

    1) ¿Cuántas colisiones “n” habrá en promedio en todo el volumen en un tiempo dado “\boldsymbol{t_1}”?

    Ahora estoy fuera del volumen V y mirándolo. Ahora lo que quiero saber es, si cronometro un tiempo “\boldsymbol{t_1}”, cuantas colisiones totales dentro del volumen veré en promedio en ese tiempo.

    4) Ahora también estoy fuera del volumen V y mirándolo. Ahora lo que quiero saber es, si cronometro un tiempo “\boldsymbol{t_4}”, cuál es la probabilidad de que no vea ninguna colisión en ese tiempo.

    Cita Escrito por Jaime Rudas Ver mensaje
    En este enlace hay un par de ejemplos resueltos de aplicación de la distribución de Poisson que quizás te ayude …
    Gracias Jaime, pero eso era justo lo que no me apetecía hacer. Hice una asignatura de probabilidad y estadística en 3º de carrera hace 39 años. Como en mi vida profesional no he vuelto a tocar el tema mis recuerdos son bastante neblinosos. No me apetecía ponerme a buscar los viejos apuntes amarillos y reestudiarlos. Sinceramente, pensaba que para estos listísimos grados y masters en Física que corren por aquí, que se pasan el día calculando complicadísimas estadísticas de Fermi-Dirac, de Bose-Einstein, Teoremas de Equipartición y cosas así, estas cuestiones les parecerían tan fáciles que me darían la solución en un minuto.

    Cita Escrito por Ulises7 Ver mensaje
    Lo estoy intentando resolver mediante la mecánica estadística y aunque creo que me estoy acercando no consigo resolverlo con las variables dadas …
    Gracias Ulises7 por intentar ayudar

    Cita Escrito por Ulises7 Ver mensaje
    … Si partimos de la densidad de flujo molecular J_0 que es el número de partículas que atraviesan una determinada superfície por unidad de tiempo en el equilibrio:
    J_0 = \dfrac{1}{4} n' \bar{v}
    Siendo n' la densidad molecular y \bar{v} su velocidad media …
    ¿Por qué? ¿De dónde sale esa expresión?

    Cita Escrito por Ulises7 Ver mensaje
    … El número de choques que nos piden n vendrá dado por la integral:
    \dst n = \int J_0 \dd S = \dfrac{1}{4}N \bar{v}
    Siendo N el número de partículas.
    ¿Por qué? ¿De dónde sale esa expresión? ¿Cuáles son los límites de la integral?

    Gracias a los tres, saludos.

  21. #13
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    Predeterminado Re: Probabilidad de colisión

    Cita Escrito por Alriga Ver mensaje

    ¿Por qué? ¿De dónde sale esa expresión?
    Sale de aplicar la distribución de Maxwell a un gas en equilibrio.

    La distribución de Maxwell es:

    \dst f(\mathbf{v}) \dd^3 \mathbf{v} = n \left ( \dfrac{\beta \pi}{2 \pi} \right )^{3/2} e^{- \bet...

    Con \beta = \dfrac{1}{k T}

    El número de moléculas que escapan a través de un orificio por unidad de tiempo y de superficie es (con z siendo el eje perpendicular al orificio):

    J (\mathbf{v}) \dd^3 \mathbf{v} = f(\mathbf{v}) v_z \dd^3 \mathbf{v}

    Si z>0 es hacia fuera del orificio, sólo se contarán aquellas partículas con v_z > 0, por tanto:

    \dst J_0 = \int_{-\infty}^{\infty} \dd v_x \int_{-\infty}^{\infty} \dd v_y \int_{0}^{\infty}f(\ma...

    Las integrales se pueden resolver con:

    \dst \int_{- \infty}^{\infty} e^{-ax^2}\dd x = \sqrt{\dfrac{\pi}{a}}

    Y el resultado es: \boxed{J_0 = \dfrac{1}{4} n \bar{v}}

    Con \bar{v} = \sqrt{\dfrac{8kT}{\pi m}} y n = \dfrac{N}{V}

    Esta densidad de flujo molecular es muy útil porque ahora podemos contar el número de partículas que atraviesan una determinada superficie S por unidad de tiempo, simplemente haciendo su producto: J_0 S. Por tanto si tomamos un diferencia de superficie esférica \dd S (porque las moléculas al moverse aleatoriamente en 3d se mueven de forma isótropa y no hay ángulo preferido en su movimiento, tienen simetría esférica) podremos calcular cuantas partículas por unidad de tiempo chocan con esta superficie infinitesimal, si integramos para todas las superficies que están contenidas en V obtendremos todos los choques por unidad de tiempo con estas superfícies:

    \dst \int_{0}^{R} J_0 \dd V = \dfrac{1}{4} \dfrac{N \bar{v}}{V} \int_0^R 4 \pi r^2 \dd r=\dfrac{1...

    Y ahora si queremos saber cuantos chocan con estas superficies en un tiempo t_1 simplemente será su producto. Pero ahora al hacerlo detalladamente me he dado cuenta que lo que expongo es la cantidad de choques "virtuales" sobre estas superfícies imaginarias (las cebollas esféricas contenidas en V) no los choques reales con otras partículas. Por tanto lo que hay que calcular ahora es la fracción de partículas que están contenidas en una determinada capa \dd S y el resultado pedido (n) será el producto de lo obtenido por lo faltante.

    Y aquí ya sí que de momento estoy atascado. Entiendo que se puede conseguir de nuevo por argumentos de equilibrio, ya que la probabilidad de encontrar x partículas en un determinado volumen interior será simplemente: P(x) = \dfrac{V_{int}}{V} y estas se tendrán que distribuir de forma homogénea por \dd S...
    Última edición por Ulises7; 18/04/2019 a las 13:01:51. Razón: error diferencial
    Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.
    Isaac Newton

  22. El siguiente usuario da las gracias a Ulises7 por este mensaje tan útil:

    Alriga (25/04/2019)

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