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Hilo: Grupo de isometrías de la Relatividad General

  1. #16
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    Predeterminado Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

    Cita Escrito por Weip Ver mensaje
    Por ejemplo si estás en un espaciotiempo de Minkowski entonces el grupo de isometrías es el de Poincaré, si estás en un espaciotiempo de Sitter entonces su grupo de isometrías es \text{SO}(4,1), si es anti de Sitter entonces es \text{SO}(3,2)...
    Cita Escrito por Weip Ver mensaje
    El grupo de isometrías de la métrica FLRW es G_6 porque hay seis campos de Killing linealmente independientes. Tres de ellos dependen de la curvatura así que teniendo en cuenta las tres posibilidades los grupos de isometría son los siguientes: SO(3)\rtimes \mathbb{R}^3 si k=0, SO(4) si k>0 y SO(3,1) si k<0.
    Hola. Creo que me pierdo algo. ¿La metrica FLRW es algo distinto del espaciotiempo homogéneo e isótropo?

    Gracias

  2. #17
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    Predeterminado Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

    Cita Escrito por carroza Ver mensaje
    Hola. Creo que me pierdo algo. ¿La metrica FLRW es algo distinto del espaciotiempo homogéneo e isótropo?
    No, no es algo distinto. Por si acaso, cuando yo hablo de métrica FLRW me refiero a ésta. Imagino que Lorentz también, en caso contrario ya nos dirá algo. Dicho esto, no acabo de ver lo que quieres decir en base a lo citado. ¿Quizás la pregunta es porqué el grupo de isometrías de la métrica FLRW con k=0 no es el grupo de Poincaré?
    \dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{S}=\dst\frac{Q}{\epsilon_0}

  3. #18
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    Predeterminado Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

    Hola.

    Lo que me choca es que en la primera cita hablas del grupo de Poincare (SO(3,1) \times R^4 ), SO(4,1) y SO(3,2), mientras que en la segunda cita hablas del grupo Euclidiano (SO(3) \times R^3 ), SO(4) y SO(3,1).

    Es como si el tiempo hubiera desaparecido cuando hablas de FLRW

    Saludos
    Última edición por carroza; 26/04/2019 a las 11:14:42.

  4. #19
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    Predeterminado Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

    Cita Escrito por carroza Ver mensaje
    Lo que me choca es que en la primera cita hablas del grupo de Poincare (SO(3,1) \times R^4 ), SO(4,1) y SO(3,2), mientras que en la segunda cita hablas del grupo Euclidiano (SO(3) \times R^3 ), SO(4) y SO(3,1).

    Es como si el tiempo hubiera desaparecido cuando hablas de FLRW
    En efecto, el tiempo "se pierde" de los grupos de isometrías de las métricas FLRW. Esto es consecuencia de la homogeneidad del espaciotiempo pues podemos foliarlo en hipersuperfícies \Sigma_t tipo espacio de manera que dados dos puntos de \Sigma_t existe una isometría que lleva uno de los puntos al otro, esto es, el grupo de isometrías actúa transitivamente sobre \Sigma_t para todo tiempo t. Por tanto la homogeneidad obliga a las isometrías a ser simetrías de las hipersuperfícies \Sigma_t de forma que al hacer t constante el grupo de isometrías no ve el tiempo, sino solo \Sigma_t.
    \dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{S}=\dst\frac{Q}{\epsilon_0}

  5. El siguiente usuario da las gracias a Weip por este mensaje tan útil:

    Lorentz (28/04/2019)

  6. #20
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    Predeterminado Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

    Cita Escrito por Weip
    No, no es algo distinto. Por si acaso, cuando yo hablo de métrica FLRW me refiero a ésta. Imagino que Lorentz también, en caso contrario ya nos dirá algo. Dicho esto, no acabo de ver lo que quieres decir en base a lo citado. ¿Quizás la pregunta es porqué el grupo de isometrías de la métrica FLRW con no es el grupo de Poincaré?
    Sí, me refería a esa métrica.

    Teniendo en cuenta lo que acabas de explicar de por qué el tiempo "desaparece" de la métrica, lo que he entendido de todo lo mencionado anteriormente es:



    • Si k<0, entonces su grupo de isometrías es SO(1,3), es decir el grupo de Lorentz. Aquí se deja invariante el hiperboloide.



    • Si k=0, entonces su grupo de isometrías es \mathbb{R}^3 \rtimes SO(3). Las isometrías aquí serían las rotaciones y traslaciones en el espacio tridimensional.



    • Si k>0, entonces su grupo de isometrías es SO(4). Aquí se deja invariante la 3-esfera.


    Y además si no me equivoco, hay una invariancia local SO(1,3), independientemente de k.

    Es correcto esto?
    "An expert is a person who has made all the mistakes that can be made in a very narrow field."

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  7. #21
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    Predeterminado Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

    Sí, es correcto.
    \dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{S}=\dst\frac{Q}{\epsilon_0}

  8. #22
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    Predeterminado Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

    Cita Escrito por Lorentz Ver mensaje

    Y además si no me equivoco, hay una invariancia local SO(1,3), independientemente de k.

    Es correcto esto?
    Yo diría que, si ahora reintroduces el tiempo (que has excluido de la definicion de isometrías), y consideras transformaciones locales (en la cuales los parámetros asociados a las traslaciones son pequeños), recuperamos el grupo de Poincaré que es R^4 \rtimes SO(3,1)

    Me equivoco?
    Última edición por carroza; 02/05/2019 a las 13:13:58.

  9. #23
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    Predeterminado Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

    Cita Escrito por carroza Ver mensaje
    Yo diría que, si ahora reintroduces el tiempo (que has excluido de la definicion de isometrías), y consideras transformaciones locales (en la cuales los parámetros asociados a las traslaciones son pequeños), recuperamos el grupo de Poincaré que es R^4 \rtimes SO(3,1)

    Me equivoco?
    No te equivocas no, si nos acercamos mucho al espaciotiempo éste nos parece plano al igual que la Tierra de cerca nos parece plana, con lo que la Relatividad Especial es válida localmente y por eso se recupera la invarianza Poincaré.
    \dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{S}=\dst\frac{Q}{\epsilon_0}

  10. El siguiente usuario da las gracias a Weip por este mensaje tan útil:

    carroza (03/05/2019)

  11. #24
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    Predeterminado Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

    Cita Escrito por Weip Ver mensaje
    En efecto, el tiempo "se pierde" de los grupos de isometrías de las métricas FLRW. Esto es consecuencia de la homogeneidad del espaciotiempo pues podemos foliarlo en hipersuperfícies \Sigma_t tipo espacio de manera que dados dos puntos de \Sigma_t existe una isometría que lleva uno de los puntos al otro, esto es, el grupo de isometrías actúa transitivamente sobre \Sigma_t para todo tiempo t. Por tanto la homogeneidad obliga a las isometrías a ser simetrías de las hipersuperfícies \Sigma_t de forma que al hacer t constante el grupo de isometrías no ve el tiempo, sino solo \Sigma_t.
    Hola. Weip. Ahora que voy entendiendo algo más este tema de "isometrias" vs "simetrias", dejame que te haga una pregunta naif, para entender el párrafo anterior. Una de las cosas que crei entender de relatividad es que coordenadas espaciales (x,y,z) y tiempo t son equivalentes, salvo un signo en el tensor métrico. Si esto es correcto, por qué no podría cambiar en tu frase el tiempo por una coordenada, por ejemplo x, y decir algo de tipo

    En efecto, la coordenada x "se pierde" de los grupos de isometrías de las métricas FLRW-x. Esto es consecuencia de la homogeneidad del espaciotiempo pues podemos foliarlo en hipersuperfícies \Sigma_x tipo espacio-tiempo de manera que dados dos puntos de \Sigma_x existe una isometría que lleva uno de los puntos al otro, esto es, el grupo de isometrías actúa transitivamente sobre \Sigma_x para toda coordenada x. Por tanto la homogeneidad obliga a las isometrías a ser simetrías de las hipersuperfícies \Sigma_x de forma que al hacer x constante el grupo de isometrías no ve la coordenada x, sino solo \Sigma_x.
    Gracias de antemano
    Última edición por carroza; 03/05/2019 a las 09:03:22.

  12. #25
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    Predeterminado Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

    Hola de nuevo carroza.

    Puedes reescribir la frase con x en vez de t sin problemas sí. La diferencia es que ahora estás interpretando x como el tiempo. Lo único que yo cambiaría de la frase es que realmente \Sigma_x es de tipo espacio porque \Sigma_x es la hipersuperfície x=\text{cte} con lo que todos sus vectores tangentes en cada punto son tipo espacio.
    Última edición por Weip; 05/05/2019 a las 19:58:04.
    \dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{S}=\dst\frac{Q}{\epsilon_0}

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