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Hilo: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

  1. #1
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    Predeterminado Problema de MCU: Cruce de dos partículas

    Las partículas mostradas realizan MCU con periodos {T}_{1 }=10s y {T}_{2 }=40s. Determine luego de cuánto tiempo, a partir de ese instante mostrado, logran cruzarse por segunda vez.
    Nombre:  PELOTAS.png
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    Última edición por anthropus; 29/04/2019 a las 21:45:29.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

    Buenas, ¿qué has intentado? Te recomiendo escribir la ecuación que te da el ángulo en función del tiempo para cada una e igualarlas. Recuerda que en un movimiento circular a velocidad constante se tiene que \theta=\theta_0+\omega t. Para la 1 tendrás \theta_1=\omega_1 t si tomas el "origen de ángulos" en el lugar en que se halla tal partícula en tu esquema, y para la 2 tendrás entonces \theta_2=\pi -\omega_2 t (el menos por recorrer la circunferencia en sentido horario). Recuerda además que \omega=2\pi /T. Para encontrar el tiempo, tienes que igualar \theta_1=\theta_2.

    Un saludo.

    Edito: releyendo el enunciado, veo que dice por segunda vez. Podrías encontrar entonces el ángulo en que se encuentran por primera vez, y volver a escribir las ecuaciones a partir de ese momento. Resolviéndolas de nuevo encontrarás donde se encuentran por segunda vez. Debe haber una manera más elegante pero ahora mismo no caigo.
    Última edición por sater; 29/04/2019 a las 22:09:20.

  3. #3
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    Predeterminado Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

    Fíjate que la partícula 1 se mueve cuatro veces mas rápido que la partícula 2 y por lo tanto en el tiempo que la partícula 2 haya dado media vuelta, la partícula 1 habrá dado dos vueltas. Entonces los dos primeros encuentros ocurren en la parte superior de la trayectoria circular.

    Tomando como referencia la posición de la partícula 1, las ecuaciones de las posiciones angulares de las dos partículas son

    \theta_1 = \frac {2 \pi } {T_1}\,t

    \theta_2 = \pi - \frac {2 \pi }{T_2}\,t

    El primer encuentro ocurre cuando \theta_1 = \theta_2. Ese no te lo piden, pero si quieres lo calculas por pura curiosidad. El segundo encuentro ocurre cuando \theta_1 - 2 \pi = \theta_2.

    Saludos,

    \mathcal A \ell

    P.D. sater disculpa que cabalgué tu respuesta, lo vi muy tarde.
    Última edición por Al2000; 30/04/2019 a las 12:12:12. Razón: Añadis posdata; Horror ortográfico
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  4. El siguiente usuario da las gracias a Al2000 por este mensaje tan útil:

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  5. #4
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    Predeterminado Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

    Hola a todos.

    Empleando Excel y generalizando (salvo error), he llegado a la expresión \theta_1-(n-1)2\pi=\theta_2, siendo "n" el número de encuentro.

    De todas formas, quisiera saber si existe una manera más elegante (como dice sater) de llegar a esta expresión.

    Gracias y saludos cordiales,
    JCB.

  6. #5
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    Predeterminado Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

    Se me ocurre que podemos describir el movimiento de cada uno con una exponencial compleja: e^{i\omega_1 t}, e^{i(\pi-\omega_2 t)}. Ambas serán iguales siempre que

    \omega_1 t=\pi-\omega_2 t+2\pi n

    de donde sale que los sucesivos cruces se dan para

    t=\pi \dfrac{1+2n}{\omega_1+\omega_2}=\dfrac{1+2n}{2} \dfrac{T_1 T_2}{T_1+T_2}

    con n=0,1,2 \ldots. Todos los cruces (salvo el primero que tarda la mitad) tardan lo mismo, pues una vez que se cruzan podemos pensar que las volvemos a fijar ambas en el origen y tenemos dos movimientos circulares en sentidos contrarios. ¿Os parece correcto?
    Última edición por sater; 01/05/2019 a las 21:04:50. Razón: Ortografía

  7. El siguiente usuario da las gracias a sater por este mensaje tan útil:

    JCB (02/05/2019)

  8. #6
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    Predeterminado Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

    Yo lo veo de esta manera: la partícula de la derecha (la 1) corre cuatro veces más rápido que la de la izquierda (la 2). Por tanto, cuando se crucen habrá recorrido 4/5 de los 180º, y la de la izquierda 1/5 de esos 180º (ya sé que en radianes queda más elegante, pero no nos hacen falta y nos entendemos mejor). En el siguiente encuentro sucede algo parecido: la 1 habrá recorrido 4/5 de los 360º y la 2 1/5 de los 360º, y así sucesivamente. Por tanto, tiempo transcurrido para el primer cruce, (T_2 / 2)/5. Para el segundo añadiremos T_2/5 y lo mismo con los siguientes.

    Por tanto, el cruce n-simo ocurre en el instante \dst\frac{1}{5}\left(n+\frac{1}{2}\right)T_2, que en realidad es la misma fórmula que la de Sater.
    Última edición por arivasm; 02/05/2019 a las 00:07:05.
    A mi amigo, a quien todo debo.

  9. 2 usuarios dan las gracias a arivasm por este mensaje tan útil:

    JCB (02/05/2019),sater (02/05/2019)

  10. #7
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    Predeterminado Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

    Hola a todos.

    Efectivamente arivasm, si substituyo \theta_1=\omega_1t y \theta_2=\pi-\omega_2t en la expresión \theta_1-(n-1)2\pi=\theta_2, llego a t=\dfrac{2n-1}{2}\dfrac{T_1T_2}{T_1+T_2}, que también (lo he comprobado) da los tiempos de los sucesivos encuentros.

    Pero mi pregunta era sobre cómo llegar a la expresión inicial \theta_1-(n-1)2\pi=\theta_2 de una manera más analítica (aunque menos intuitiva).

    Entonces sater, escribió que la solución a e^{i\omega_1 t} y a e^{i(\pi-\omega_2 t)}, es \omega_1 t=\pi-\omega_2 t+2\pi n.

    Esta solución (empleando el plano complejo), se me escapa. ¿ me la podéis explicar ?.

    Muchas gracias y saludos cordiales,
    JCB.
    Última edición por JCB; 02/05/2019 a las 20:36:34.

  11. #8
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    Predeterminado Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

    Cita Escrito por JCB Ver mensaje
    ... Esta solución (empleando el plano complejo), se me escapa. ¿ me la podéis explicar ?...
    Se basa en la Fórmula de Euler:

    M e^{i \ \alpha}=M (\cos \alpha + i \sin \alpha)

    Un número complejo se puede expresar de varias formas M\angle \alpha=M\cos \alpha + i M\sin \alpha=M e^{i \ \alpha}

    M=módulo
    \alpha=argumento

    Por otro lado, hay una correspondencia biunívoca entre los números complejos y los puntos de plano \mathbb R^2

    Es decir, a un punto cualquiera del plano de coordenadas cartesianas (a, b) le corresponde el número complejo a+bi=\sqrt{a^2+b^2}\angle \arctan\dfrac b a

    Por otro lado, me gustaría comentaros que el tiempo que tarda en repetirse la coincidencia,

    Cita Escrito por sater Ver mensaje
    ... de donde sale que los sucesivos cruces se dan para

    t=\pi \dfrac{1+2n}{\omega_1+\omega_2}=\dfrac{1+2n}{2} \dfrac{T_1 T_2}{T_1+T_2}

    con n=0,1,2 \ldots
    que en la fórmula que ha deducido sater es la parte:

    T_s=\dfrac{T_1 \cdot T_2}{T_1 \pm T_2}

    es muy importante en Astronomía, se llama Período Sinódico. Por ejemplo los planetas exteriores como Marte, Júpiter, Saturno,... presentan la mejor visibilidad para nuestros telescopios cuando el Sol, la Tierra y el planeta exterior están en línea recta en ese orden, a esa posición relativa de los 3 astros se le llama Oposición. El tiempo que transcurre entre 2 oposiciones consecutivas es el Período Sinódico

    (El signo +/- es para recoger las 2 posibilidades, que los 2 planetas giren en sentidos contrarios o en el mismo sentido. La órbita de la Tierra y la del planeta se aproximan circulares y recorridas a velocidades constantes)

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 03/05/2019 a las 08:20:12. Razón: Presentación

  12. 2 usuarios dan las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    JCB (02/05/2019),sater (02/05/2019)

  13. #9
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    Predeterminado Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

    Gracias Alriga.

    Estudiaré más a fondo la variable compleja, porqué lo cierto es que en este momento, aún no acabo de ver de dónde sale \omega_1 t=\pi-\omega_2 t+2\pi n.

    Por otra parte, me han sorprendido las implicaciones que este “sencillo” ejercicio tiene con la Astronomía (disciplina que desconozco totalmente).

    Saludos cordiales,
    JCB.

  14. #10
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    Predeterminado Re: Problema de MCU: Cruce de dos partículas

    Cita Escrito por JCB Ver mensaje
    ... aún no acabo de ver de dónde sale \omega_1 t=\pi-\omega_2 t+2\pi n
    El ángulo A(t) que proporciona la posición de la partícula 1 es

    A(t)=\omega_1 t

    El ángulo B(t) que posiciona la partícula 2 es

    B(t)=\pi-\omega_2 t

    Cuando ambas partículas coinciden (mismo ángulo) se debe cumplir

    A(t)=B(t) ó

    A(t)=B(t) + 1 vuelta

    A(t)=B(t) + 2 vueltas

    .....

    Es decir

    \omega_1 t=(\pi-\omega_2 t) + n (2\pi)

    n=0, 1, 2, 3, ...

    Con

    \omega_1=\dfrac{2\pi}{T_1}

    \omega_2=\dfrac{2\pi}{T_2}

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 02/05/2019 a las 22:10:49. Razón: Corrección

  15. El siguiente usuario da las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    JCB (02/05/2019)

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