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Hilo: Serie de Fourier

  1. #1
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    Predeterminado Serie de Fourier

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    f(\theta )=\begin{cases} (2a)^{-1} & { (|\theta |<a)} \\0 & {(a<|\theta |<\pi )}\end{cases}.....(1)


    \frac{1}{2\pi }+\frac{1}{\pi }\sum_{1}^{\infty }\frac{sen(na)}{na}cos(n\theta ).....(2)


    Mi duda es esta, de la función (1) que es una función a trozos debo de llegar a la serie de Fourier de (2), pero mi única duda es que limites debo de escoger para llegar a la serie de fourier que me piden.

    Lo que hice primero es encontrar en cosficiente {a}_{0 } asi que uso el coeficiente:

    a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx


    a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\frac{1}{2a }dx


    pero que limites debo de colocar en esta integral pata que llegue al coeficiente \frac{1}{2\pi } que esta en (2), me confunde el (|\theta |<a) de antemano muchas gracias

  2. #2
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    Predeterminado Re: Serie de Fourier

    Hola Enrique, bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva.

    Uso x en vez de \theta porque es más corto de escribir en LaTeX. La definición que te dan de la función sin utilizar valores absolutos es:

    f(x)=0 \qquad -\pi<x<-a

    f(x)=\dfrac 1{2a} \qquad -a<x<a

    f(x)=0 \qquad a<x<\pi

    f(x+2k\pi)=f(x) \qquad \forall k\in \mathbb N (condición de periodicidad)

    En general, el primer sumando de la serie se calcula mediante:

    \dst \dfrac{a_0}2=\dfrac 1 T \int_0^T f(x)dx

    O bien:

    \dst \dfrac{a_0}2=\dfrac 1 T \int_{-T/2}^{T/2} f(x)dx

    En nuestro caso T=2\pi y por lo tanto T/2=\pi Usemos la segunda expresión.

    \dst \dfrac{a_0}2=\dfrac 1{2\pi} \left [ \int_{-\pi}^{-a} 0\cdot dx+\int_{-a}^{a} \dfrac 1{2a}dx ...

    \dst \dfrac{a_0}2=\dfrac 1{2\pi}\dfrac 1{2a}\int_{-a}^a dx=\dfrac 1{2\pi}\dfrac 1{2a}(2a)=\dfrac ...

    En general, el resto de sumandos a_n se calculan mediante:

    \dst a_n=\dfrac 2 T \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \dfrac{2\pi n}{T}x \ dx

    En nuestro caso, descomponiendo la integral en suma de integrales igual que hemos hecho para a_0:

    \dst a_n=\dfrac 2{2\pi} \int_{-a}^{a} \dfrac 1{2a} \cos \dfrac{2\pi n}{2\pi}x \ dx

    \dst a_n=\dfrac 1{2\pi a} \int_{-a}^{a} \cos n x \ dx=\dfrac 1{2\pi a}\left [\dfrac{\sin nx}n \ri...

    a_n=\dfrac{\sin n a}{\pi n a}

    La expresión general de la Serie de Fourier:

    \dst S(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos \left( \frac{2n\pi}{T}x \right) + b_n\si...

    Como nuestra función es PAR todos los sumandos b_n=0 Por lo tanto la serie de Fourier es:

    f(x) \approx S(x)=\dst \dfrac{1}{2\pi}+\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin n a}{\pi n a} \cos nx

    S(x)=\dst \dfrac{1}{2\pi}+\dfrac 1{\pi a}\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin n a \cdot \cos nx}n

    Repásalo y si tienes alguna duda pregunta, saludos.
    Última edición por Alriga; 14/05/2019 a las 10:50:42. Razón: LaTeX

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