1r ciclo Sistema de 4 ecuaciones y 3 incógnitas

[jales8]

Buenas, soy nuevo en el foro, sirva esto como presentación.

Tengo un problema a la hora de resolver este sistema de ecuaciones. El resultado lo sé, pero no el procedimiento. Si alguién me puede echar una mano se lo agradecería. Un saludo y gracias.

2z-y=1
x-z=1
y-2x=-3
x+2y+z=-1 Solución: x=1;y=-1;z=0

bueno después de pelearme con estos números lo he resuelto con un procedimiento lógico en el que no había caído (x=-y).
saludos

[Bulsara]

Re: Sistema de 4 ecuaciones y 3 incógnitas

Yo lo he resuelto como mi nivel me lo permite y supongo que habra gente que lo hara mas rapido y simple.

2z-y=1
x-z=1
y-2x=-3
x+2y+z=-1

He ido a buscar la z que es la mas sencilla:
2z-y=1 -> y=2z-1
x-z=1 -> x=1+z

x+2y+z=-1
1+z+2(2z-1)+z=-1
1+z+4z-2+z+1=0
6z=0
z=0

Despues las otras es facil:
y=2z-1
y=-1

x=1+z
x=1

[carroza]

Re: Sistema de 4 ecuaciones y 3 incógnitas

Buenas, soy nuevo en el foro, sirva esto como presentación.

Tengo un problema a la hora de resolver este sistema de ecuaciones. El resultado lo sé, pero no el procedimiento. Si alguién me puede echar una mano se lo agradecería. Un saludo y gracias.

2z-y=1
x-z=1
y-2x=-3
x+2y+z=-1 Solución: x=1;y=-1;z=0

bueno después de pelearme con estos números lo he resuelto con un procedimiento lógico en el que no había caído (x=-y).
saludos

Hola. Antes de ponerse a resolver un problema, es útil pararse a pensar si tiene solución o no. En general, un sistema de cuatro ecuaciones y tres incognitas no tiene solución, salvo que una de las ecuaciones pueda obtenerse a partir de las demas. En el caso que planteas, tu segunda ecuacion es la suma de la primera y la tercera, multiplicadas por -1/2.

Por ello, puedes resolver el sistema, olvidandote de la segunda ecuación, con lo que tienes un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Hay métodos generales, para ver si un sistema de ecuaciones son independientes o no. Para ello, se usan los determinantes.

[pod]

Re: Sistema de 4 ecuaciones y 3 incógnitas

El método que citaba Carroza es el siguiente:

Debes escribir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

$$\left(<br /> \begin{array}{ccc|c}<br /> 0 &-1 & 2 & 1 \\<br /> 1 & 0 &-1 & 1 \\<br /> -2 & 1 & 0 &-3 \\<br /> 1 & 2 & 1 &-1<br /> \end{array} \right)$$

Como ves, los números son los coeficientes de las variables (tienes que mantener siempre el mismo orden, yo he usado x, y, z), y a la derecha de la barra vertical, el término independiente.

Pues bien, para que un sistema tenga solución única, el rango de esta matriz debe ser igual al número de variables que tienes. En este caso, tres. Si el rango es mayor, no hay ninguna solución; si es menor, hay infinitas.

Pues bien, para calcular el rango tienes que ir haciendo determinantes cada vez más grandes, y encontrar que sean diferentes a cero. Por ejemplo, un determinante 2x2 diferente a cero es

$$\left|<br /> \begin{array}{cc}<br /> 0 &-1 \\<br /> 1 & 0 <br /> \end{array} \right|<br /> = 1 \ .$$

Por lo tanto, el rango es por lo menos dos. Probemos con un determinante 3x3:

$$\left|<br /> \begin{array}{ccc}<br /> 0 &-1 & 2 \\<br /> 1 & 0 &-1 \\<br /> -2 & 1 & 0<br /> \end{array} \right| = -2+2= 0 \ .$$

Esta no nos vale, pero tenemos más opciones. Por ejemplo:

$$\left|<br /> \begin{array}{ccc}<br /> 0 &-1 & 2 \\<br /> 1 & 0 &-1 \\<br /> 1 & 2 & 1<br /> \end{array} \right| = 1+4+1 = 6 \ .$$

Por lo tanto, el rango es, por lo menos, 3. Sólo nos queda comprobar si el determinante total es nulo o no; si lo es, el rango es 3; sino, 4. Es largo de hacer, pero en efecto da cero.

Para encontrar la solución, te basta con eliminar una de las ecuaciones (acabamos de demostrar que son redundantes. Yo, por ejemplo, opto por eliminar la tercera. Puedo escribir lo que queda del sistema de forma matricial:

$$\left(<br /> \begin{array}{ccc}<br /> 0 &-1 & 2 \\<br /> 1 & 0 &-1 \\<br /> 1 & 2 & 1 <br /> \end{array} \right)<br /> \left( \begin{array}{c} x & y & z \end{array} \right)<br /> = <br /> \left( \begin{array}{c} 1 & 1 & -1 \end{array} \right)\ .<br />$$

La solución se haya aislando la matriz columna de las incógnitas,

$$<br /> \left(\begin{array}{c} x & y & z \end{array}\right)<br /> = <br /> \left(<br /> \begin{array}{ccc}<br /> 0 &-1 & 2 \\<br /> 1 & 0 &-1 \\<br /> 1 & 2 & 1 <br /> \end{array} \right)^{\!\!-1}<br /> \left( \begin{array}{c} 1 & 1 & -1 \end{array} \right)\ ,<br />$$

donde ese "a la menos uno" significa que debes buscar la matriz inversa.