2o ciclo Origen del l(l+1), s(s+1) y otras preguntas sobre el spin

[aleix]

Hola:

¿Alguien sabe cómo se mide (experimentalmente, claro) el momento angular L total o el spin S total de una partícula? Hasta la fecha solo he visto medidas de Lz o Sz, que por cierto, aunque dicen que z puede ser cualquier dirección, siempre parece ser la de la propagación de la partícula (¿es casualidad?)

Tampoco veo claro el origen del término l(l+1) o s(s+1) como autovalor de L² o S². ¿De dónde sale exactamente?

Gracias

[Entro]

Re: Origen del l(l+1), s(s+1) y otras preguntas sobre el spin

Hola:

¿Alguien sabe cómo se mide (experimentalmente, claro) el momento angular L total o el spin S total de una partícula?

Pues eso se puede medir a través de espectroscopía rotacional, irradiando moléculas con luz infrarroja...

Eso da medidas de sus estados rotacionales, etiquetados por l.

Hasta la fecha solo he visto medidas de Lz o Sz, que por cierto, aunque dicen que z puede ser cualquier dirección, siempre parece ser la de la propagación de la partícula (¿es casualidad?)

En realidad es la dirección donde tu hagas la medida, al fin ya al cabo Z es el nombre de un eje, y tu lo puedes poner como tu quieras.

Tampoco veo claro el origen del término l(l+1) o s(s+1) como autovalor de L² o S². ¿De dónde sale exactamente?

Gracias

Hay varias formas de verlo, si conoces los estados (funciones de onda) de tu sistema y la forma que tiene el operador puedes resolver la ecuación de valores propios...

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento..._cu.C3.A1ntica

Y siendo formales eso viene de estudiar las representaciones irreducibles del grupo de rotaciones o de espín. El SO(3) o el SU(2)

[pod]

Re: Origen del l(l+1), s(s+1) y otras preguntas sobre el spin

Tampoco veo claro el origen del término l(l+1) o s(s+1) como autovalor de L² o S². ¿De dónde sale exactamente?

De una forma mucho más prosaica de lo que ya te ha comentado Entro; si tu resuelves la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, haces las separaciones de variables pertinentes y todo lo de siempre, básicamente verás que la parte angular se reduce a la ecuación asociada de Legendre. La forma más general de esta ecuación contiene un parámetro libre (el valor propio). Si tu intentas resolver dicha ecuación, por ejemplo utilizando el método de Frobenius, te das cuenta que la única forma que la solución sea convergente (i.e, la serie de Frobenius se corte a cierto orden y tengas un polinomio) es que dicho valor propio sea de la forma $\ell (\ell+1)$, donde $\ell$ es cualquier número entero.

Físicamente, dicho valor propio se interpreta como el momento angular. Pero la función de onda debe ser convergente (la probabilidad no puede ser infinita), por lo que esto quiere decir que el momento angular está cuantizado, y sólo puede tomar los valores que sigen esa forma (en unidades de $\hbar$, claro).

No queda tan bonito como hablar de la teoría de grupos, pero supongo que se entiende algo más

[SSS]

Re: Origen del l(l+1), s(s+1) y otras preguntas sobre el spin

De una forma mucho más prosaica de lo que ya te ha comentado Entro; si tu resuelves la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, haces las separaciones de variables pertinentes y todo lo de siempre, básicamente verás que la parte angular se reduce a la ecuación asociada de Legendre. La forma más general de esta ecuación contiene un parámetro libre (el valor propio). Si tu intentas resolver dicha ecuación, por ejemplo utilizando el método de Frobenius, te das cuenta que la única forma que la solución sea convergente (i.e, la serie de Frobenius se corte a cierto orden y tengas un polinomio) es que dicho valor propio sea de la forma $\ell (\ell+1)$, donde $\ell$ es cualquier número entero.

Físicamente, dicho valor propio se interpreta como el momento angular. Pero la función de onda debe ser convergente (la probabilidad no puede ser infinita), por lo que esto quiere decir que el momento angular está cuantizado, y sólo puede tomar los valores que sigen esa forma (en unidades de $\hbar$, claro).

No queda tan bonito como hablar de la teoría de grupos, pero supongo que se entiende algo más

Pero tu aquí estás ya suponiendo que tienes un problema en el cual la ecuación de Sch. es separable, (el potencial tiene simetría esférica) y que además no depende del tiempo. Con lo que te queda una ecuación para "los ángulos" independiente de la V(r) que metas. Pero este no es el planteamiento más general del problema.

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Re: Origen del l(l+1), s(s+1) y otras preguntas sobre el spin

Pero tu aquí estás ya suponiendo que tienes un problema en el cual la ecuación de Sch. es separable, (el potencial tiene simetría esférica) y que además no depende del tiempo. Con lo que te queda una ecuación para "los ángulos" independiente de la V(r) que metas. Pero este no es el planteamiento más general del problema.

No, yo no he hecho ninguna referencia al hamitoniano (que es lo que da la ecuación de Schödinger). Estamos hablando de los estados propios de momento angular, no de los momentos propios de la energía.

[Entro]

Re: Origen del l(l+1), s(s+1) y otras preguntas sobre el spin

Para tener estados propios del momento angular (operador L al cuadrado) basta con exigir que haya simetría bajo rotaciones en el problema. Evidentemente si quieres que estos estados tengan energía definida han de conmutar con el Hamiltoniano lo que implica que la ecuación de Sch es separable como se ha dicho.

[aleix]

Re: Origen del l(l+1), s(s+1) y otras preguntas sobre el spin

Gracias por vuestras respuestas. De todas formas, ¿alguien sabe alguna referencia donde se explique bien el procedimiento de medida de espines totales? Me interesaría ver con detalle cómo se mide el L=sqrt[2] del fotón y el sqrt[3]/2 de por ejemplo un electrón.

gracias!