Secundaria Generador de traslaciones

[Aradan]

Tengo una duda respecto a los operadores escritos en forma exponencial. si yo tengo el operador hermítico $\hat{H}$, entonces ¿cómo se que el generador de traslaciones en el tiempo, que sería
$\Psi (x,t+t_0) = e^{-i\hat{H} t_0 / \hbar} \Psi (x,t)$, sigue operando como

$\displaystyle{ \langle e^{-i\hat{H} t_0 / \hbar}\alpha | \beta \rangle = \langle \alpha | e^{i\hat{H} t_0 / \hbar} \beta \rangle }$

Notando que $\displaystyle{(e^{-i\hat{H} t_0 / \hbar})^\dagger = e^{i\hat{H} t_0 / \hbar}}$

O sea, mi duda es que sigue operando como el conjugado de una transformación hermítica

Si expando la exponencial en serie (como se define), entonces me quedan transformaciones como $1+i\hat{H}-\hat{H}^2+...$ y el producto de alpha y beta me daría la igualdad que puse antes ya que cada uno de estos son transformaciones que operarian sobre alpha y beta (los productos se separan con la suma)

¿Es así o hay alguna otra forma de verlo?

[pod]

Re: Generador de traslaciones

Si, será así siempre que $H = H^\dag$.

[Entro]

Re: Generador de traslaciones

La cuestión que planteas es interesante, pero para saber que ese operador unitario es el generador de la evolución temporar uno ha de hechar mano de la mecánica clásica donde se demuestra que el Hamiltoniano es el generador de tales evoluciones.

En cuántica lo que exigimos es que ese generador sea un operador unitario y que ha de satisfacer la ecuación de Schrödinger. Si uno admite que ese operador unitario es la versión exponenciada del Hamiltoniano (independiente del tiempo en este caso o si no no funciona el argumento) y desarrolla la exponecial hasta O(3) y mete una derivada temporal recupera la ecuación de Schrödinger...

Creo recordar que en el Sakurai se hacía así... pero no estoy seguro.

[Aradan]

Re: Generador de traslaciones

M... de hecho $\hat{H}$ es el operador Hamiltoniano y cuando tengo

$e^{-i t_0 \hat{H} / \hbar}$ , este es un operador unitario, ya que $\hat{H}$ es hermitiano (eso ya lo probé)
Ahora, no se mucho de los operadores unitarios, ya que no he visto mucho la parte más formal de la mecánica cuántica

[alshain]

Re: Generador de traslaciones

Si expando la exponencial en serie (como se define), entonces me quedan transformaciones como $1+i\hat{H}-\hat{H}^2+...$ y el producto de alpha y beta me daría la igualdad que puse antes ya que cada uno de estos son transformaciones que operarian sobre alpha y beta (los productos se separan con la suma)

¿Es así o hay alguna otra forma de verlo?

Así es, ya que la definición del operador exponencial es a través de la serie que lo expande.

Un saludo.