Los puentes de Königsberg

[Lemuel]

[FONT=Verdana]En torno a 1800, durante los últimos años de su vida, las costumbres del filósofo Immanuel Kant eran regulares, muy regulares, extremadamente regulares. Al menos eso dicen sus biógrafos. Tan regulares eran en aquellos años sus costumbres que, en la ciudad prusiana de Königsberg --hoy conocida como Kaliningrado— donde él vivía, la regularidad se llamaba kantismo, y kantiano a quien era tan regular o puntual como el propio Kant.[/FONT]

[FONT=Verdana]Por lo visto, fuese verano o invierno, el maestro se levantaba por las mañanas sin falta a las cinco en punto y, tras evacuar maquinalmente intestinos y vejiga, hacer sus rutinarias abluciones y proceder a desayunarse de la manera espartana propia de los filósofos, salía de casa a las cinco y media para ejercitarse caminando unos cuantos kilómetros. Pues, como dice el viejo Virgilio, mens agitat molem.[/FONT]

[FONT=Verdana]--Niño, aprisa, tráeme el cronómetro, que por allí asoma el inconfundible sombrero de nuestro don Imma, que ya vuelve a casa –-solía decir alrededor de hora y media después don Thomas, dueño de la charcutería, cuyo lamentable reloj de plata caca de gata atrasaba, desde ni se sabe, varios minutos diarios.[/FONT]

[FONT=Verdana]De modo, así pues, que, cuando tras su cotidiano paseo el filósofo y su sombrero pasaban justo por delante de la puerta de la catedral --y mientras el propio campanero ajustaba con disimulo ciertas ruedas dentadas del vetusto reloj de la torre catedralicia--, el charcutero Thomas movía por enésima vez las manecillas de su viejo cronómetro para que marcasen las siete y cinco en punto. Poco después, don Immanuel atravesaba la puerta de su humilde vivienda, se cambiaba de ropa y se ponía a pensar y escribir lo pensado, a escribir y pensar lo escrito, llenando de densa escritura pequeña y de apretado pensamiento grande una buena suma de cuartillas de granujiento papel amarillo. [/FONT]

[FONT=Verdana]Dejémosle un momento entregado a su esforzada labor.[/FONT]
[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/Lemuel/LOCALS%7E1/Temp/moz-screenshot.jpg[/IMG][FONT=Verdana]
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[FONT=Verdana][img]http://enciclopedia.us.es/images/6/6...B6nigsberg.png[/img]
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[FONT=Verdana]Königsberg está edificada en terrenos irrigados por el Pregel, río que en su recorrido forma allí dos islas, de modo que la ciudad está claramente dividida en cuatro barrios distintos, unidos entre sí por los Siete Puentes que se ven en la figura. Desde tiempo inmemorial, los tozudos lugareños habían intentado sin éxito una infinidad de variantes para hallar el itinerario que les hubiera permitido cruzar de manera sucesiva aquellos Siete Puentes sin pasar dos veces por ninguno de ellos. [/FONT]

[FONT=Verdana]Pues bien, en 1736, cuando Kant tenía solo 12 años y aún no distinguía entre a prioris y a posterioris ni habría reconocido un noúmeno aunque se lo hubiesen puesto corito delante de la nariz, ocurrió que en la ciudad de Königsberg dejose caer uno de los mayores matemáticos que vieron los siglos, a saber: Leonhard Euler (pronúnciese óiler). Ocasión preciosa que aprovecharon los lugareños para plantearle el aparentemente irresoluble problema de los Siete Puentes del lugar. Y don Leonhard, tras pensárselo un poco, dijo que era imposible hallar el itinerario pretendido, pues el tal no existía. Lo cual demostró de modo irrebatible, creando, ya de paso, los fundamentos de la Teoría de Grafos. [/FONT]

[FONT=Verdana]Volviendo un momento a don Immanuel, el hecho mismo de su célebre puntualidad itineraria prueba que, en sus rutinarios periplos matinales, nunca cayó en la tentación de cruzar los Siete Puentes de Königsberg sin pasar dos veces por ninguno de ellos. Es decir que nuestro filósofo conocía el correspondiente razonamiento euleriano.[/FONT]

[FONT=Verdana]La pregunta es: ¿en qué consiste ese razonamiento?
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[Lemuel]

Los puentes de Königsberg. Solución

[FONT=Verdana]Para simplificar, don Leonhard representó los cuatro barrios por puntos, A, B, C, D, y los siete puentes por líneas:



(En B, por lo que veremos, en vez de 3 debe leerse 5.)

Según arguyó el matemático suizo, para seguir la ruta pretendida (o sea, una ruta que incluyera los siete puentes recorridos una sola vez), cada punto había de estar unido a un número par de líneas.

La razón de esta paridad es que, en su periplo cerrado, y salvo en el inicio y el final del itinerario, el viajero ideal que atraviesa un barrio (un punto) debe hacerlo entrando por un puente (una línea) y saliendo por otro (otra línea). En cambio, al principio (final) del viaje, el sujeto únicamente abandona (accede a) uno de los cuatro barrios.

De lo dicho se deriva que, si el viaje empieza y acaba en un mismo barrio, entonces este barrio, como todos los demás, debe disponer de un número par de puentes.

En el caso de Königsberg, por desgracia, los cuatro barrios A, B, C y D disponen de 3, 5, 3 y 3 puentes, o sea, los puentes correspondientes a cada uno de los cuatro barrios son siempre impares. Por lo tanto, el itinerario ideal pretendido es imposible.[/FONT]