Otras carreras Alcance máximo

[gfellay]

Tengo el siguiente enunciado.
Se lanza un proyectil con una velocidad inicial Vi = 5 m/s formando un angulo T respecto a la horizontal desde una altura de 1 m del suelo.
La pregunta es: ¿calcule el ángulo T para que el alcance sea máximo?
Ahora bien, si la posición inicial (X0,Y0) es (0,0), entonces operando con la fórmulas llegamos que el alcance es
X = Vi^2/g Sin(2T)
de donde cuando T = 45°, se obtiene el alcance máximo (pues Sin(2T) = 1)

pero como en mi caso Y0 = 1, no me sirve la fórmula anterior y a lo mas que pude llegar es a (usando también Vi = 5 m/s):
0 = 5(Cos(T)^2) + 2.5 X Sin(2T) - X^2

pero no se me ocurre una forma de despejar X en función de T.

Le empecé a dar distintos valores a T y llegué a la conclusión que T debe estar entre 36° y 37° (lo cual difiere del caso Y0 = 0 que implica que T = 45°) pero la verdad que
1) No pude llegar a un valor "razonable" para T
2) Me gustaría llegar a la solución teórica y no "a prueba y error".

Saludos y al que pueda ayudarme (y a los otros también) le estaré muy agradecido
gfellay

PD: si alguien tiene o puede calcular la fórmula general (para Y0, Vi variables) sería ideal.

[lucass]

Re: Alcance máximo

Hola
Yo me puse a resolver, y llegué a la siguiente expresión, que es horrible:
$x_{max}=\frac {-v_0^2 sin{2\theta}}{2g} -\frac {v_0 cos \theta \sqrt{v_0^2 sin^2 \theta - 2gy_0}}{g}$
pero que por lo que veo es correcta, pues si $y_0=0$ se llega a $x_{max}=\frac {-v_0^2 sin{2\theta}}{2g}$
que es la que corresponde para ese caso particular.
De todos modos, supongo que se debe poder simplificar, pero como ando medio para atrás con las matemáticas, eso se lo dejo a otro.
Después habría que tomar la derivada respecto a $\theta$ e igualarla a cero para ver el máximo.
Yo lo metí en el Derive, pero lamentablemente también ando mal con los programas de matemáticas, jeje, y no pude lograr que me de un resultado...
No descarto que haya alguna forma de razonar que permita encontrar el ángulo sin tener que hacer todo eso...

viendo la gráfica de x vs ángulo, el máximo más máximo que encontré está en $\theta=\frac {131 \pi}{640}$ pero se puede seguir buscando...
lamento no poder ayudar más...
suerte

[ser humano]

Re: Alcance máximo

a mi me quedo una expresion mas larga e imposible de despejar (lleno de senos y de cosenos elevados a varias potencias). lo que hice fue plantear la posicion en las ordenadas respecto del tiempo e igularla a cero, despues plantee la misma para las absisas y despeje el tiempo. este tiempo lo sustitui en la primera ecuacion, la cual desarrolle y me quedo una expresion cuadratica. como todo me quedaba igualado a cero, pase a resolverla y una vez obtenido el resultado, derive esa expresion. a esa derivada la iguale a cero (para obtener el maximo absoluto). de todas formas por mas que desarrolle no se me hace posible despejar theta, ya que me queda en senos elevados al cubo , al cuadrado y cosenos tambien con potencias.
de todas formas creo que si implementas el metodo que te redacte para datos concretos puedas obtener un resulado satisfactorio.
de no esntederse algo no tenes mas que avisarme (y si me equivoque en algo, claramente tambien)