Otras carreras ¿expresiones equivalentes?

[ser humano]

hoy el profesor de fisica encargado de la catedra estaba haciendo una demostracin y llego a esta expresion:

$\frac {dh}{dt}=\frac {-A}{A_0} \sqrt {2gh}$

hasta aca venia comprendiendo excelentemente la demostracion, pero luego de esta expresion pasa a la siguiente:

$\frac {dh} {\sqrt h} =\frac{-A} {A_0} \sqrt {2g} dt$

(intentando representar la evolucion de mis emociones en ese momento)

bueno, la verdad que no comprendo, pareciese como que toma a la notacion diferencial como una fraccion, pero la verdad que no se.
evidentemente hay algo que no estoy sabiendo o que al menos no estoy teniendo en cuenta, y me gustaria que me lo pudieran decir.

gracias

[Stormkalt]

Re: ¿expresiones equivalentes?

Hola ser humano:

Es el paso previo a la resolución de esa ecuación diferencial. Seguramente después integrará ambos miembros y llegará a la expresión deseada.
Pasó multiplicando el diferencial de t y dividiendo la raíz de h. De esa manera se puede integrar sin problema.

Recordá la definición de diferencial de f. Ahí los diferenciales están separados y se pueden luego unir mediante la barra de fracción.

df = f`(x).dx

¡Saludos!

[lucass]

Re: ¿expresiones equivalentes?

Mirá, no sé si hay una explicación matemática real de lo que hizo tu profesor, porque no sé qué estaba haciendo.
Pero sí te puedo decir que en física suele hacerse bastante seguido eso, para simplificar las matemáticas, y porque en definitiva da resultado, de tomar el operador dx/dt como el cociente entre dos diferenciales, dos magnitudes muy pequeñas de algo. A mí también me asustó al principio, pero ya me acostumbré.
Igual mejor si se lo preguntas al docente, de última que te diga "si mirá, hice eso porque más o menos va bien" o a lo mejor te da una explicación más rigurosa.
saludos

[ser humano]

Re: ¿expresiones equivalentes?

Recordá la definición de diferencial de f. Ahí los diferenciales están separados y se pueden luego unir mediante la barra de fracción.

df = f`(x).dx

hasta donde yo conozco la expresion valida es $\frac {df}{dx} = f' (x)$ o lo que es lo mismo $\frac d {dx} f =f' (x)$ o $\frac {df(x)}{dx}$. pero yo lo conozco solo como una notacion, no como un cociente, es decir que esta notacion indica que funcion se deriva (lo que seria el "nominador")y con respecto a que variable (lo que seria el "denominador").
me estoy equivocando? o por alguna reaon tu definicion deriva de la que estoy exponiendo?

[alespa07]

Re: ¿expresiones equivalentes?

Hola. Cuidado con la diferencia entre derivada y diferenciales. Para aclararlo rigurosamente es un poco largo, pero la idea es la derivada es una diferencia de incrementos cuando el denominador tiende a 0

$f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}$

o lo que es lo mismo:

$\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(x)+\alpha$ con $\alpha \to 0$ si $\Delta x \to 0$

multiplicando todo por $\Delta x$ se tiene que:

$\Delta y=f^{\prime}(x)\Delta x+\alpha\Delta x$ con $\alpha \to 0$ si $\Delta x \to 0$

Podemos ver facilmente que $\alpha\Delta x$ es un infinitésimo de orden superior a $\Delta x$:

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\displaystyle\frac{\alpha\Delta x}{\Delta x}=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\alpha=0$

Entonces, al primer sumando se le llama diferencial de la función y lo designamos por $dy$ o $df$, esto es:

$dy=f^{\prime}(x)\Delta x$

Ahora te preguntarás de donde sale el $dx$ que solemos ver em la fórmula habitual. Pues Basta hallar la diferencial de la función $y=x$ ( pruébalo, sale solo...). De eso encontrarás que:

$\Delta x=dx$

Es decir que el incremento en la variable independiente coinicide con su diferencial. Finalmente, si la función tiene derivada finita puedes escribir que:

$dy=f^{\prime}(x)dx$ o bien $\displaystyle\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(x)$

Entonces, tienes que recordar que derivada y diferenciales no son lo mismo aunque, para funciones que tienen derivada finita en un punto, el cociente de diferenciales coincide con la derivada. Así pues, estás manejando diferenciales $dy$ y $dx$ que tienen sentido propio y no han de expresarse necesariamente como cocientes

(puedes multipliar, dividir....).

Espero haberte ayudado algo.

Saludos.

[Juanma1976]

Re: ¿expresiones equivalentes?

Como te han dicho anteriormente, una cosa es la derivada de h respecto de t, $\frac{dh}{dt}$ y otra cosa es el diferencial de h como función $dh$.

La confusión aparece porque $dh=h'(t)dt=\frac{dh}{dt}dt$, con lo que da la sensación de que han pasado multiplicando el $dt$ y se han quedado tan panchos.

En el caso de que h dependiera de más de una variable ya no sería verdad. Si $h=h(s,t)$ entonces $dh=\frac{{\partial h}}{{\partial s}}ds+\frac{{\partial h}}{{\partial t}}dt$

hoy el profesor de fisica encargado de la catedra estaba haciendo una demostracin y llego a esta expresion:

$\frac {dh}{dt}=\frac {-A}{A_0} \sqrt {2gh}$

hasta aca venia comprendiendo excelentemente la demostracion, pero luego de esta expresion pasa a la siguiente:

$\frac {dh} {\sqrt h} =\frac{-A} {A_0} \sqrt {2g} dt$

(intentando representar la evolucion de mis emociones en ese momento)

bueno, la verdad que no comprendo, pareciese como que toma a la notacion diferencial como una fraccion, pero la verdad que no se.
evidentemente hay algo que no estoy sabiendo o que al menos no estoy teniendo en cuenta, y me gustaria que me lo pudieran decir.

gracias

[Metaleer]

Re: ¿expresiones equivalentes?

Lo que ha hecho ahí tu profesor es separar variables para poder realizar la integración. Matemáticamente hablando, esto es "incorrecto", porque eso de manejar diferenciales como si fueran números es un asunto peliagudo.

En las páginas 422 y 423 del Apostol, Calculus (vol. I) se explica esto:

Si tienes una ecuación diferencial separable

$y' = Q(x)R(y) \Rightarrow \{ R(y) \neq 0 \} \Rightarrow A(y)y' = Q(x),$

con $\displaystyle A(y) = \frac{1}{R(y)}$ y si $G' = A$, entonces la solución de la ecuación diferencial separable satisface la función implícita

$\displaystyle G(y) = \int Q(x) dx + C.$

Las hipótesis de existencia y unicidad y todo eso vienen en el libro, si te interesan.

Ahora viene la "justificación" del manejo de los diferenciales. Sea $Y(x)$ una solución de la ecuación diferencial. Entonces

$\displaystyle A(Y(x))Y'(x) = Q(x) \Rightarrow \int A(Y(x))Y'(x) dx = \int Q(x)dx + C,$

y si haces el cambio $y = Y(x) \Rightarrow dy = Y'(x) dx$, entonces el primer miembro se transforma en

$\displaystyle \int A(y) dy = \int Q(x)dx + C,$

que como ves, es lo que hubieras obtenido al separar variables e integrar.

Saludos.

PD: Eso me suena a la ecuación que se obtiene en el vaciado de un contenedor cilíndrico, ¿no?

[Stormkalt]

Re: ¿expresiones equivalentes?

Hola ser humano.

Tal cual como te dijeron en las completas explicaciones anteriores.

Ahora bien, para ese tipo de ecuaciones diferenciales y a los fines prácticos siempre se resuelven tomando a las diferenciales como si fuesen valores separados por una barra de fracción.

¡Saludos!

[ser humano]

Re: ¿expresiones equivalentes?

PD: Eso me suena a la ecuación que se obtiene en el vaciado de un contenedor cilíndrico, ¿no?

(me abstengo de generar hipotesis pseudocientificas acerca de como supiste de que se trataba ).
se nota que sabes, me alegro por vos

gracias a todos por sus respuestas, ya comprendi!

[Metaleer]

Re: ¿expresiones equivalentes?

(me abstengo de generar hipotesis pseudocientificas acerca de como supiste de que se trataba ).
se nota que sabes, me alegro por vos

gracias a todos por sus respuestas, ya comprendi!

Realmente soy tu profesor disfrazado.

En realidad, es un ejemplo común de uso combinado de la ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad, por eso lo sabía.

Saludos.