1r ciclo Rapidez de convergencia

[[Beto]]

Hola, el siguiente ejercicio no se me ocurre como resolverlo, espero alguien me pueda ayudar:

Se dice que $F(x)\longrightarrow L$ con una rapidez de convergencia $\mathcal{O}(g(x))$:

• Si $\dst\lim_{x\to 0}F(x)=L$
• Existe un $k$ independientemente de $x$ tal que $\dst\left|\frac{F(x)-L}{g(x)}\right|\leq k$ para $0<x$ suficientemente pequeña.

Probar que $\dfrac{\sin h}{h}=1+\mathcal{O}(h^2)$.

El problema es que no encuentro como relacionar la definición de rapidez de convergencia para a partir de ella obtener $\mathcal{O}(g(x))$, ¿quizás el enunciado no esta bien?

[pod]

Re: Rapidez de convergencia

Creo que lo que tienes que hacer es demostrar que la convergencia es de rapidez (¿velocidad?) $\mathcal O( h^2)$. Es decir, poner $g(h) = h^2$.

[[Beto]]

Re: Rapidez de convergencia

Creo que lo que tienes que hacer es demostrar que la convergencia es de rapidez (¿velocidad?) $\mathcal O( h^2)$. Es decir, poner $g(h) = h^2$.

Pero ¿que función tomaria como $F(x)$? ... porque despejando el $\mathcal O( h^2)$, queda que $\mathcal O( h^2)=\dfrac{\sin h}{h}-1$ y no entiendo que quiere decir eso.

[pod]

Re: Rapidez de convergencia

Pues el seno cociente.

$$F(x) = \frac{\sin x}{x}\ , \qquad g(x) = x^2 \ .$$

Y por supuesto L = 1.

[[Beto]]

Re: Rapidez de convergencia

Uhm .. entonces tendria que encontrar $g(h)$, tal que:

$$\left|\frac{\dfrac{\sin h}{h}-1}{g(x)}\right|\leq k$$

y a partir de esa desigualdad intentaría encontrar $g(x)$, ya que esta debe ser una función tal que la parte izquierda de la función tenha una asintota horizontal, es decir que:

$$\lim_{h\to\infty}\frac{\dd }{\dd h}\left(\frac{\dfrac{\sin h}{h}-1}{g(h)}\right)=0$$

pero asi me complico bastante, en cambio si intento hacer

$$\lim_{h\to\infty}\frac{\dd }{\dd h}\left(\frac{\dfrac{\sin h}{h}-1}{h^2}\right)=0$$

es muy sencillo, el problema es que me parece que asi no es del todo correcto, pues la idea seria encontrar que $g(h)=h^2$, y no suponer que $g(h)=h^2$ y luego ver que $\dst\left|\frac{\dfrac{\sin h}{h}-1}{gh^2}\right|\leq k$ se cumple ...

[Juanma1976]

Re: Rapidez de convergencia

Entonces la manera sería hacerlo con $g(h)=h^s$ y quedarte con el máximo $s$ que cumple la desigualdad.
Igualmente la serie de Taylor te da una noción de que valor tendrá el máximo de $s$, ya que $\frac{sin(h)}{h}=1-\frac{h^2}{6}+\cdots$ con lo que $g(h)=h^2$ y $k$ cualquier real mayor que $\frac{1}{6}$.

Uhm .. entonces tendria que encontrar $g(h)$, tal que:

$$\left|\frac{\dfrac{\sin h}{h}-1}{g(x)}\right|\leq k$$

y a partir de esa desigualdad intentaría encontrar $g(x)$, ya que esta debe ser una función tal que la parte izquierda de la función tenha una asintota horizontal, es decir que:

$$\lim_{h\to\infty}\frac{\dd }{\dd h}\left(\frac{\dfrac{\sin h}{h}-1}{g(h)}\right)=0$$

pero asi me complico bastante, en cambio si intento hacer

$$\lim_{h\to\infty}\frac{\dd }{\dd h}\left(\frac{\dfrac{\sin h}{h}-1}{h^2}\right)=0$$

es muy sencillo, el problema es que me parece que asi no es del todo correcto, pues la idea seria encontrar que $g(h)=h^2$, y no suponer que $g(h)=h^2$ y luego ver que $\dst\left|\frac{\dfrac{\sin h}{h}-1}{gh^2}\right|\leq k$ se cumple ...

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Re: Rapidez de convergencia

Es que no tienes por qué poner una g(h) general. En el enunciado te dicen que pruebes con el cuadrado directamente. Es decir, te dicen "prueba que $\frac{\sin h}{h} = 1 + \mathcal O(h^2)$", no te están preguntando cuál es la función g(h) que mejor va...