Aproximación a la energía potencial gravitatoria

[QED]

[FONT=Arial]Partiendo de que

[/FONT]

$$E_p=-GMm\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)$$

[FONT=Arial]

Supongamos un cuerpo masivo y esférico de radio $s$, y coloquemos el cero de la energía [/FONT][FONT=Arial]potencial en la superficie de este. Comparemos la energia en este punto con la de cualquier otro punto sobre la superficie:

$$E_p=-GMm\left(\dfrac{1}{s+h}-\dfrac{1}{s}\right)=-GMm\left[\dfrac{s-(s+h)}{s(s+h)}\right]=-GMm\left[\dfrac{-h}{s(s+h)}\right]$$

[/FONT][FONT=Arial]
[/FONT][FONT=Arial]Siendo [/FONT]$g$ [FONT=Arial]la aceleracion que se le imprime a un cuerpo como consecuencia de la interaccion gravitatoria en [/FONT]$s+h$.[FONT=Arial],
Sabemos que :[/FONT][FONT=Arial]

$$g=\dfrac{F_g}m=\dfrac{GM}{(s+h)^2} \quad \Rightarrow \quad GM=g(s+h)^2$$

[/FONT] [FONT=Arial]
Sustituyendo esto en (2):

$$E_p=\dfrac{mgh(s+h)^2}{s(s+h)}=mgh\cdot \dfrac{s+h}{s}$$

[/FONT][FONT=Arial]
Para valores de $h$ relativamente bajos con respecto a $s$, $s+h\approx s$ y por lo tanto $\dfrac{s+h}s \approx 1$. Por esto podemos concluir que:

$$\boxed{E_p \approx mgh}$$

[/FONT]

[FONT=Arial]
[/FONT]

La conclusión de esta demostración es utilizada en las siguientes demostraciones:

[FONT=Arial]Ecuación de La Conservación de La Energía Mecánica en un Campo Gravitatorio[/FONT]

Subdemostraciones:

• Ecuacion de la energia potencial gravitatoria.