Ecuación de La Conservación de La Energía Mecánica en un Campo Gravitatorio

[QED]

La Energía Mecánica se define como la suma de la Energía Cinética mas la Energía Potencial, esto es:

$$E_m = E_c + E_p$$

Para demostrarlo partimos de la Segunda Ley de Newton:

$$F = ma$$

También debemos saber la cinemática relacionada con la posición del cuerpo y su aceleración:

$$V^2_f = V^2_o + 2a\Delta x$$

(La ecuación 3 se aplica sólo a cuerpos moviendose con aceleración constante.)

Como se demostró en la subdemotración de la Ecuación de la Energía Potencial Gravitatoria para aproximaciones de alturas bajas, esta demostración se realiza en la aproximación a un $g$ constante para alturas bajas con respecto al centro de la tierra.

Si un cuerpo desciende por una rampa, la Fuerza que hace descender a éste es la Fuerza Gravitatoria. La componente que va a tener relación con esta fuerza va a hacer

Si aplicamos la Ley de Newton tenemos que:

$\sum F_x = ma$

$$mgsen\phi = ma$$

La relación entre las velocidades y del cuerpo cuando estan en las alturas y es:

$V^2_f = V^2_o + 2a\Delta x\rightarrow a =\frac{V^2_f - V^2_o}{2 \Delta x}$

Introduciendo esto en 4 tenemos:

$m\frac{V^2_f - V^2_o}{2 \Delta x} = mgsen\phi$

Como

$m\frac{V^2_f - V^2_o}{2} = mg(h_o - h_f)$

y separando los momentos iniciales y finales llegamos a que:

$\frac{1}{2}mV^2_o + mgh_o = \frac{1}{2}mV^2_f + mgh_f$

y esto no es más que:

$$E_m = E_c + E_p$$

Con esto podemos afirmar que la Energía Mecánica en un punto inicial será igual en otro. La Energía Mecánica se mantiene constante o sea se conserva.

Subdemostraciones relacionadas:

• Teorema de las fuerzas vivas / Ecuación de la energía cinética

• Demostración de la Ecuación de MRUA que relaciona: Velocidad, Aceleración y Desplazamiento

$V^2_f = V^2_o + 2a \Delta x$